Beatty tétele.
Adott a és b 1-nél nagyobb irracionális szám, melyekre teljesül, hogy reciprokaik összege 1. Ekkor az [a], [2a], [3a], ... és [b], [2b], [3b], ... sorozatok minden pozitív egész számot pontosan egyszer tartalmaznak vagy az egyik, vagy a másik sorozatban. ([x] az x egész részét jelenti.)

A tételt a Wikipédián találtam itt, bizonyítás nélkül. Egy bizonyítás találtam a neten, de - most már - biztosan van fent több is. :-)

Még mielőtt a bizonyítással próbálkoznánk, próbáljuk meg feltérképezni, hogyan "működik" a sorozat! Vegyük példának a b = gyök(2) értéket, ekkor a = gyök(2)/(gyök(2)-1). Az [nb] sorozat az 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, ... számokat, [na] sorozat pedig a 3, 6, 10, 13, ... számokat tartalmazza. Valóban úgy tűnik, a két sorozat éppen a pozitív egészekre egészíti ki egymást. A példában [nb] sorozat állítja elő a számok nagy részét, amit pedig kihagy, azt [na] sorozat beszúrja. Induljunk el ezen a nyomon!
A reciprokösszegből adódik, hogy a nem lehet egyenlő b-vel. Legyen a > b, mint a fenti példában. Ekkor szükségszerűen a > 2 és 2 > b > 1. Fejezzük ki a nagyobbat a kisebbel: a = b/(b-1) = 1 + 1/(b-1). Ennyi bemelegítés után lássunk bizonyításokat!