Igazoljuk, hogy [nb] sorozat valóban nem növekedhet nagy ugrásokkal. Pontosabban [nb] és [(n+1)b] különbsége csak 1 vagy 2 lehet. Ugyanis ha 1 < b < 2, akkor

Megjegyzés.
Kihasználtuk az egész rész azon tulajdonságát, hogy az egész számok kiemelhetők a függvényből: [x+n] = [x] + n, minden n egész, x valós számra.

Tudjuk, hogy b 1 és 2 közé esik. Logikusnak tűnik, hogy b = 1 + c alakba írjuk fel, ahol 0 < c < 1. Ekkor a = 1 + 1/c. Vegyük szemügyre azon eseteket, amikor [nb] és [(n+1)b] különbsége 2! Helyettesítsük az előbbi kifejezést mindkét alakba:

Mivel az első és második kifejezés eltérése 2, ezért [nc] és [(n+1)c] közötti különbség 1. Ez csak úgy lehetséges, ha valamely k pozitív egészre [nc] = k-1 és [(n+1)c] = k:

Koncentráljunk a közepére és osszunk le c-vel:

Végül vizsgáljuk meg [ka]-t: [ka] = [k(1+1/c)] = k + [k/c] = k + n. Így [ka] = n + k valóban [nb] = n + k - 1 és [(n+1)b] = n + k + 1 közé esik.

Mivel 0 < c < 1, így nc és (n+1)c legfeljebb egy egészet lép át, ezért [nc] és [(n+1)c] különbsége 0 vagy 1. Ez biztosítja, hogy k minden pozitív egész értéket felvesz az előbb leírt esetekben.

Ha bárki hibát talál bizonyításban, kérem jelezze email -ben!