Geometriai sorok
 
Az 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... összeget geometriai sornak vagy más néven mértani sornak nevezzük. (Nem ez az egyetlen geometriai sor.) Ahhoz, hogy a 'geometriai sor' (nyelvtani szempontból jelzős szerkezet) fogalmát megértsük, két dolgot kell tisztáznunk : elsősorban azt, hogy mit jelent a matematikában a sor. Másodsorban, hogy a sorok közül melyeket nevezzük mértaninak.

Sorok
Mind a kettő kérdésre egyszerű a válasz. A matematikában sornak nevezzük a végtelen összegeket. Például sor az
 

  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... összeg,
1 + 11 + 111 + 1111 + ... összeg,
7 + 7/2 + 7/3 + 7/4 + ... összeg és így tovább.
 

 
A fenti példákban valamiféle szabályszerűség van az egymás után következő összeadandók között. Az első esetben mindig eggyel nagyobb számot adunk az eddigiekhez, a második esetben egy egyest írunk az utoljára hozzáadott szám után, a harmadik esetben eggyel növeljük a tört nevezőjét.
Ennek nem kell így lennie, sor az is, ha teljesen véletlenszerűen adunk össze számokat. Persze a matematikai vizsgálatok leginkább a szabályszerűséggel bíró sorokra vonatkoznak. Mint például a geometriai sor.

Geometriai sor
Ilyet úgy állítunk elő, hogy először leírunk egy egyest és mögé '+' jelet teszünk. Majd veszünk egy számot - jelöljük q-val és nevezzük kvóciensnek -, leírjuk és újra '+' jel. Aztán vesszük a kvóciens négyzetét és '+', a kvóciens harmadik hatványát és '+', majd így tovább. Az így előállított vagy ilyen szabályszerűséget mutató sorokat nevezzük geometriai soroknak. Ha formulát akarunk készíteni, a fentiek alapján könnyen megtehetjük:

1 + q1 + q2 + ... + qn + ... , ahol q, a kvóciens valós szám

A geometriai sorokkal kapcsolatban megfigyelhetünk egy nagyon érdekes dolgot. Ha q-nak -1 és 1 közé eső számot választunk, akkor a fenti összeg sosem nől bizonyos szám fölé (ez a szám persze a kvócienstől függ). Minél több számot adunk össze, a geometriai sor annál jobban megközelíti ezt a számot. Úgy mondjuk, hogy a sor összege ez a szám. Jelekkel leírva az ilyen tulajdonságú geometriai sorokat:

1 + q1 + q2 + ... + qn + ... , -1 < q < 1
vagy
1 + q1 + q2 + ... + qn + ... , |q| < 1

Ha most visszanézünk eredeti összegünkre (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...), kitalálhatjuk, hogy kvóciense 1/2. Tehát sor, mivel végtelen sok szám összege és ezen belül geometriai, mert egy adott szám összes hatványait adjuk össze. És mivel egy -1 és 1 közti szám hatványai szerepelnek, egyre jobban meg kell közelítenie egy számot: ez a szám a 2. Az általunk felírt sor összege ezek szerint 2.

Egy kis játék
Az alábbiakban tapasztalati úton szerezhetünk némi elképzelést arról, hogyan működik egy geometriai sor. Adjunk meg egy kvócienst (ezt a számot fogjuk hatványozni), majd adjuk meg azt is, hogy hány tag összegét szeretnénk kiszámoltatni. (Nyilván végtelen sok összeadást a gép sem tud elvégezni. Így is kb. 100-as nagyságrendig követhető az összeg a számítógép számára, ami persze a kvócienstől és a géptől is függ.)
Alapértelmezésben megadtuk eredeti kvóciensünket, a 0.5-t és azt, hogy a 10. hatványig számoljuk az összeget. Ha növeljük a 10 értékét, az összeg egyre jobban megközelíti a 2-t. Ez a kísérleti matematika, lehet próbálkozni! (Ajánlom kvóciensnek a -0.6-t, -0.5-t, -0.3-t, -0.1-t, 0.2-t, 0.25-t, 0.6-t, 0.75-t.)

Mi legyen a geometriai sor kvóciense? (-1 < q < 1 !!)

Meddig számoljuk a geometriai sort? (3 < n)

Trembeczki Csaba, 1999.
Ha téged érdekelnek a fentiek, akkor ajánlom figyelmedbe ezeket a lapokat is!
Kattints ide, ha minden érdekel!