A középiskola matematika anyagában az első komplexebb, átfogó témakör, amivel meg kell ismerkedned, a hasonlóság. A témakörben nem egy-két összefüggést kell elsajátítanod és alkalmaznod, hanem jóval többet. Ez a gondolkodásodban is minőségi ugrást követel. Nemcsak tudnod kell a nagyobb számú ismeretet, hanem fel kell ismerned, hogy adott kérdésben milyen összefüggések alkalmazhatók és meg kell probálnod alkalmazni őket. Ez egy nagyon nehéz feladat, ami türelmet, biztos tudást, kitartást és több ráfordított időt igényel.
Kicsit könnyítendő a helyzeted, megpróbáltam összegyűjteni a témakörben előkerülő ismereteket tételek, definíciók, szerkesztési eljárások szerint csoportosítva. Az oldal alján találsz segítséget a tételek bizonyításainak megtanulásához "Gondolatok" címmel, utána pedig a feladatmegoldásban próbálok segíteni, amikor felmerül a kérdés: "Mire gondoljak?"

---

 

---

1. Pitagorasz-tétel és megfordítása
2. Párhuzamos szelők tétele (PSzT) és megfordítása
3. Háromszög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.

4. Középpontos hasonlóság tulajdonságai
5. Hasonlóság (egybevágóság) tulajdonságai
6. Minden egybevágóság hasonlóság.
7. Bármely hasonlósági transzformáció előállítható egy középpontos hasonlóság és egybevágóság(ok) szorzataként
8. Háromszögek hasonlósága (egybevágósága) /alapesetek!/
9. Síkidomok (sokszögek) hasonlósága (egybevágósága) /több összefüggés is!, tankönyv/
10. Hasonló síkidomok területe, hasonló testek (kocka) térfogata

11. Magasságtétel (derékszögű háromszög)
12. Befogótétel (derékszögű háromszög)
13. Számtani-mértani közép közötti összefüggés (algebrai, geometriai magyarázat)
14. Háromszög súlyvonalai egy pontban metszik és harmadolják egymást.
15. Gondold át a háromszög nevezetes vonalainak tételeit: szögfelező, oldalfelező, magasság
16. Körhöz húzott érintőszakasz a szelődarabok mértani közepe.
17. Körhöz húzott szelődarabok szorzata állandó.

18. Azonos íven nyugvó középponti szög kétszerese a kerületi szögnek. /4 eset!/
19. Azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlők.
20. Ellentétes íven nyugvó kerületi szögek 180°-ra egészítik ki egymást.
21. Húrnégyszög-tétel és megfordítása

Definíciók fel
A fent említett tételekben előforduló fogalmak, szintén csoportosítva.

1. Összemérhető szakaszok

2. Középpontos hasonlóság
3. Hasonlósági (egybevágósági) transzformáció
4. Hasonlósági pont
5. Transzformációk szorzata
6. Háromszögek, síkidomok (sokszögek) hasonlósága (egybevágósága)

7. Mértani (számtani) közép
8. Körhöz húzott szelődarab

9. Kerületi és középponti szög (azonos íven nyugvó)
10. Érintő szárú kerületi szög
11. Húrnégyszög
12. Látószög, látószögkörív

Szerkesztési eljárások fel

1. Szakasz adott arányú osztása.
2. Hasonló alakzatok (pl. két kör) hasonlósági pontjának megszerkesztése.
3. Látószögkörív szerkesztés (hegyesszög, derékszög, tompaszög).

"Gondolatok" fel

1. A Pitagorasz, PSzT és a húrnégyszög tétel megfordításának bizonyításában visszajátsszuk a feladatot a tételre. Ekkor csak egy kicsit változtatunk: úgy alakítjuk az ábrát /feltételeket/, hogy az eredeti tételt használhassuk. (Általában is alkalmazható ötlet: vezesd vissza a kérdést a már bizonyított tételre!)
2. A magasság- és befogótétel igazolásához ugyanazt az ábrát kell felrajzolni, csak egyik esetben a két kisebb háromszöget, másik esetben az eredeti és az egyik kisebb háromszöget tekintjük.
3. A "háromszög szögfelezői", "oldalfelező merőlegesei" tételek igazolása gyakorlatilag egy forgatókönyv szerint (majdnem szóról-szóra ugyanúgy) történik. A magasságokra vonatkozó tételt pedig visszajátsszuk az oldalfelező merőlegesekre. (Ötlet: egészítsük ki az ábrát!)
4. Szerkesztéseknél mindig meg kell gondolni, lehet-e, és ha igen hány megoldása a feladatnak. (És miért?) Pl. hasonlósági pontok meghatározásakor szinte mindig két megoldása van a feladatnak! (Lásd két, egymáson kívüli kör esetén.)

"Mire gondoljak?" fel
Csak akkor tudsz feladatmegoldásra vállalkozni, ha tisztában vagy az "elméleti" kérdésekkel. (Tulajdonképpen ezek olyan feladatok, amikre sűrűn hivatkozunk a későbbiekben.) Az elméletet úgy célszerű megtanulni, hogy amikor kimondod a tétel nevét, magad előtt lásd a hozzá készített ábrát. Így a feladatmegoldás során könnyebben fogod felismerni, mit is kell alkalmazni.

A feladatban szereplő feltétel vagy erre következtetünk	Eszedbe jut róla
Általános kérdés:	Látsz-e az ábrán derékszöget? Tudnál-e kialakítani?
derékszög, merőleges, magasság	Pitagorasz-tétel
szakaszok négyzetösszege	Pitagorasz-tétel (ha sok szakasz -> többször)
Pitagorasz-tétel	alakíts ki derékszögű háromszöget (esetleg többet)
alakíts ki derékszöget	rajzolj be magasságot, húzz merőlegest (pl. érintő-sugár)
hol van a derékszögű csúcs?	szerkessz Thalesz-kört (90°-os látószögkörívet)
kör és egy átmérője	a kör bármely pontját összekötve a végpontokkal, derékszögű háromszöget kapunk
Általános kérdés:	Látsz-e az ábrán szöget párhuzamos egyenesekkel? Tudnál-e csinálni ilyet?
párhuzamos egyenesek adottak	párhuzamos szelők tétele
párhuzamos szelők tétele	bizonyos arányok egyenlők
arányok adottak (pl. osztópontok formájában)	párhuzamos szelők tétel megfordítása
PSzT megfordítása	bizonyos egyenesek párhuzamosak
arányokra kérdez	PSzT + keress megfelelő párhuzamos egyeneseket
párhuzamosokra kérdez (pl. trapéz-e adott négyszög)	egy szög szárain vannak (kialakíthatók) megfelelő arányok?
Általános kérdés:	Szerepelnek érintő körök? Szerepelnek kör és érintő egyenes?
egymást érintő körök	az érintési pont és a középpontok egy egyenesen vannak
kör és érintő egyenes	külső pontból körhöz húzott érintő szakaszok egyenlők érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre
sokszögbe írt kör	a sokszög minden oldala érintője a körnek
érintősokszög	a sokszög minden oldala érintője a körnek
Általános kérdés:	Látsz hasonló háromszögeket? Tudnál-e készíteni?
azonos szögek (egyenlő szakaszok)	hasonló (egybevágó) háromszögek
mértani közép	magasságtétel (befogótétel, hasonló háromszögek)
arányok	hasonló háromszögek (befogótétel, magasságtétel)
szakasz(ok) négyzete(i) (nem összeadva, pl. arányaik)	befogótétel (magasságtétel, hasonló háromszögek)
	Megjegyzés. A "mértani közép" forma (magasságtétel) négyzetre emeléssel átalakítható "négyzetes" formára (befogótétel), az pedig keresztbe osztással "arány" formára (hasonló háromszögek, PSzT). Így ezt a három dolgot célszerű együtt kezelni a feladatmegoldások során. Ha az egyik nem jön be, meg kell próbálkozni egy azonos átalakítás után a másikkal. (Az osztás és a négyzetgyökvonás nem okozhat gondot, mert mindig szakaszok hosszaival, azaz pozitív számokkal dolgozunk.)
magasságtételt akarod használni?	keress derékszögű háromszöget a megfelelő adatokkal! (magasság, átfogóra eső vetületek)
befogótételt szeretnéd használni?	keress derékszögű háromszöget a megfelelő adatokkal! (befogó, átfogó, átfogóra eső vetület)
hasonló háromszögekre van szükség?	Olvasd el még egyszer a kérdést! Melyik szakaszok arányaira van szükséged? A szakaszok sokat segítenek a háromszögek kiválasztásában. Ha megvagy, keress egyenlő szögeket!
Általános kérdés:	Szerepel kör a feladatban? Vannak-e pontok a körön?
pontok a körön, húrok a körben	kerületi-középponti szögek közti összefüggés azonos íven nyugvó kerületi szögek közti összefüggés
körhúrok és érintő	érintő szárú kerületi szög (4. eset!)
4 pont egy körön	húrnégyszög
húrnégyszög(-e?)	húrnégyszög tétel
négyszög, két szemközti szöge 90°	húrnégyszög

Trembeczki Csaba, 2001-2007.