Hatvány és logaritmus

Itt nem akarok a hatvány, gyök és logaritmus fogalmainak kialakulásával foglalkozni, egyedül a közöttük levő kapcsolatot szeretném kihangsúlyozni. Csak a definíciókat írom ide (n-edik gyök a-t ngyök(a) jelöli). Kezdjük a hatványozás középiskolában utoljára tanult, a kitevőre nézve legbővebb értelmezésével! Itt a kitevő bármilyen valós szám lehet, az alap viszont csak pozitív valós szám.
Definíció.
1. an = aa...a (n>1 egész);
2. a1 = a (n=1);
3. a0 = 1 (n=0) és
4. a-n = 1/an (n pozitív egész);
5. ap/q = qgyök(ap) (p és q egészek, q nem nulla);
6. az irracionális kitevőjű hatványok értékét racionális kitevőjű hatványok konvergens sorozataival definiáljuk a rendőr elv alapján. (Emelt szint.)

 A hatványozás azonosságai
1. anam = an+m
2. an/am = an-m
3. (ab)n = anbn
4. (a/b)n = an / bn
5. (an)m = anm
Az azonosságokat csoportosítani is szoktuk: azonos alapú hatványok (1., 2. sor) és azonos kitevőjű hatványok (3., 4. sor).

Lássuk a gyökvonásról középiskolában tanult legbővebb definíciót! A gyökvonás műveletét szét kellett szednünk két részre, megkülönböztetve a páros és páratlan gyökkitevőket. (Csak pozitív egész gyökkitevőkkel foglalkoztunk a definíció során.)

Definíció.
1. Az a valós szám páratlan n-edik gyökén értjük azt a számot, amit ha n-edikre emelünk, a-t kapunk.
2. Az a nemnegatív valós szám páros n-edik gyökén értjük azt a nemnegatív számot, amit ha n-edikre emelünk, a-t kapunk. 		A gyökvonás azonosságai
1. ngyök(a) ngyök(b) = ngyök(ab)
2. ngyök(a)/ngyök(b) = ngyök(a/b) (b nem zérus)
3. (ngyök(a))m = ngyök(am)
4. ngyök(mgyök(a)) = nmgyök(a)
Két dolog azonnal feltűnhet. Egyrészt a fenti két definíció kölcsönösen egymásra hivatkozik, hiszen a hatványnál felhasználjuk a gyököt és viszont, ami nagy bajnak tűnik. Másrészt a gyökvonást nem terjesztjük ki sem egész, sem racionális, sem irracionális (azaz valós) kitevőkre. Ez kisebb gond, de a számításoknál problémát okozhat.

Azonban mindkét probléma látszólagos, ugyanis két fogalom körkörösen, egymást segítve épül fel.

  • Elkezdjük az egynél nagyobb pozitív egész kitevőkkel és valós alappal. (Ld. def. 1. sora.) Ebből már megkapjuk az összes azonosságot is, bizonyos feltételekkel (2. sorban m < n és a nevezőben b nem zérus).
  • Ez az egyszerű hatványfogalom már lehetővé teszi a fenti gyökvonás-fogalom bevezetését. Így már világos, miért nem körkörös a kapcsolat: a hatvány első soros definíciójában még szó nincs gyökről, az csak az 5. sorban kerül elő, a racionális kitevőkre való áttérésnél. Persze a gyök fogalmával együtt születnek meg a gyökvonás azonosságai is.
  • Aztán rájövünk a hatványozás 2. azonosság alapján, hogy sorban mi lehet a jelentése az 1, 0, negatív egész kitevőknek. Azonban közben előkerülnek a törtek, ezért a nevezőből száműznünk kell a zérust. Így ekkor az alap már 0 nem lehet. (Ld. def. 2., 3., 4. sora.) Az azonosságoknál itt már nincs szükség kikötésekre.
  • A következő lépésben (ld. def. 5. sora) rájövünk a pozitív racionális kitevők jelentésére: a1/q = qgyök(a). Erre a hatványozás 5. azonossága és a gyökvonás előbbi definíciója vezet minket. Mivel úgy találtuk, hogy nem tudunk értelmet adni a negatív számok páros gyökeinek, ezért itt már az alapból száműzzük a negatív valós számokat is. Ekkortól van szükség arra a kikötésre, hogy a hatvány alapja csak pozitív szám lehet.
  • Mivel az előző lépésben lefordítottuk a gyökvonás műveletet a hatványozás "nyelvére", ezért a továbbiakban már nem foglalkozunk a gyökvonás bővítésével. (Nem foglalkozunk 1, 0, negatív, racionális és irracionális gyökkitevőkkel.)
  • Utoljára az irracionális kitevőjű hatványok maradtak. Őket a fent leírt módon lehet meghatározni, de ebbe nem megyünk most jobban bele.

Talán ezek után már jobban látjuk, hogyan építi fel egymást a hatvány és a gyök fogalma. A felépítés közben természetesen folyamatosan szem előtt tartjuk, hogy amire addig rájöttünk, továbbra is érvényben maradjon. Ezt az alapelvet máskor is alkalmazzuk, és permanencia-elvnek nevezzük.

A logaritmus bevezetéséhez térjünk vissza a hatvány alakhoz!

ab = c

Az alak három betűt tartalmaz. Ha az alap és a kitevő adott és a hatványértéket kérdezzük, akkor hatványozás műveletet kell végeznünk. Ha a kitevő és a hatványérték adott és az alapot kérdezzük, akkor gyökvonást kell végeznünk. Ám hogyan kaphatjuk meg az alapból és a hatványértékből a kitevőt? Ez a művelet a logaritmus.
A logaritmust a legbővebb hatvány definícióra építjük, ezért az alapban levő a csak pozitív szám lehet, ennélfogva c hatványérték is.

Van még egy problémánk: ha az alapba az 1-es számot írjuk, akkor 1b = c alakhoz jutunk. Két lehetőségünk van: c = 1 esetén bármilyen valós számot írhatunk b helyére. Ha viszont c nem 1, akkor az egyenlet b-re nem megoldható.
Mivel a logaritmus művelet, művelettől pedig azt várjuk el, hogy egyetlen eredménye legyen, ezért ki kell zárnunk az alapból az 1-et (bármi a hatvány érték, nem tudjuk egyértelműen visszakeresni a kitevőt).

Így végül arra jutunk, hogy az alapba csak pozitív valós számokat írhatunk, kivéve az 1-et. Az argumentumba pedig (c hatványérték helyére) csak pozitív valós számot.

Definíció.
Az a alapú logaritmus c (jellel logac) jelenti azt a kitevőt, amire a-t emelve c-t kapunk. 		A logaritmus azonosságai
1. logab+logac = loga(bc)
2. logab-logac = loga(b/c)
3. loga(bc) = clogab
4. logab = logcb/logca
Összefoglaló táblázat. Az ab = c hatvány alakból kiindulva a következő műveletekhez jutottunk.
 
Adott Kérdés Művelet neve Jelölése
a, b c hatványozás c = ab
b, c a gyökvonás a = bgyök(c)
a, c b logaritmus b = logac
 

Ha téged érdekelnek a fentiek, akkor ajánlom figyelmedbe ezeket a lapokat is!
Kattints ide, ha minden érdekel!