Köszönöm érdeklődését és dicsérő szavait. Örülök, ha érdeklődésének felkeltésében az általam készített oldalak is szerepet játszottak.
Kérdéseire megpróbálok érthető és pontos válaszokat adni, bár ez Öntől valószínűleg további kutatómunkát fog igényelni. Válaszom három részből áll: az axiómák, a modellek, illetve az elnevezések felől vázolom a különbségeket.

Az axiómákról

Kezdésnek tisztáznunk kell: a hagyományos, euklideszi geometriát (és minden matematikai rendszert) axiomatikus felépítésűnek tekintjük. Azaz néhány alapfogalom és rájuk vonatkozó, érvényesnek elfogadott alaptétel (axióma) segítségével építjük fel. Ezen axiómák között szerepel az ominózus párhuzamossági axióma, pl. ilyen megfogalmazásban: "a sík egy egyenesével egy rajta kívüli ponton át pontosan egy olyan egyenes húzható, ami első egyenesünket nem metszi" .

Bolyai János (és mások) ötlete az volt, hogy válasszuk el ezt a többi axiómától (ún. maradék axiómarendszer), majd helyettesítsük egy másik axiómával: "a sík egy egyenesével egy rajta kívüli ponton át több olyan egyenes húzható, ami első egyenesünket nem metszi" . Igazából az az érdekes, hogy így is egy értelmes rendszerhez jutunk, ez a Bolyai-Lobacsevszkij-féle vagy hiperbolikus geometria.

Könnyen megfigyelheti, hogy van egy harmadik lehetőség is az axióma átfogalmazására: "a sík egy egyenesével egy rajta kívüli ponton át egy olyan egyenes sem húzható, ami első egyenesünket nem metszi" . Ekkor bármely két egyenes metszi egymást! Értelmes geometriai rendszer így is készíthető, sőt, akár több különböző rendszert is felépíthetünk, hiszen azt is megszabhatjuk, hány közös pontjuk legyen az egyeneseknek. Így beszélünk Riemann-féle egyszeres (1 metszéspont) vagy Riemann-féle kétszeres (2 metszéspont) elliptikus geometriáról.

A helyzet ekkor picit bonyolultabb: az axióma ilyetén változtatásával már összeütközünk az előbb még jól működő maradék axiómarendszerrel, így abból el kell hagynunk bizonyos axiómákat az "értelmesség" fenntartásához. (Az "értelmes" szónak ebben a részben végig nagyon pontosan meghatározott matematikai jelentése volt: ellentmondásmentes, független és teljes.)

A modellekről

A geometriákat az axiómarendszereik határozzák meg. Azok alapján azonban elég bajos elképzelnünk ezen rendszereket, ezért veszünk hozzájuk ún. modelleket. A modell egy általunk könnyen elképzelhető alakzat, aminek meghatározott részeire (pontok, vonalak, stb.) érvényesek a geometria axiómái. Egy geometriai rendszernek lehet több modellje is!

Például az euklideszi geometriát modellezik a mindenki által jól ismert síkok: a füzet síkja, a tábla síkja, az asztallap síkja. Pontok a hagyományos pontok, egyenesek a hagyományos egyenesek. Eszünkbe sem jut, hogy másik modellt keressünk.

A Riemann-féle kétszeres geometriát modellezhetjük a gömbfelületen. A gömbfelület pontjai lesznek a geometria pontjai, és a főkörök adják a geometria egyeneseit. És teljesül a módosított párhuzamossági axióma! A gömbi geometria egy modellje a Riemann-féle kétszeres geometriának.

Érdekes, a Riemann-féle egyszeres geometriához is használhatjuk a gömbfelületet, de úgy, hogy az átellenes pontokat egynek tekintjük. Ekkor a geometria pontjai az összekapcsolt, átellenes pontpárok, az egyenesek pedig továbbra is a főkörök - illetve az összekapcsolt pontok által alkotott főkörök, mint ahogy azt Ön is nagyon helyesen említi.

A Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriához is léteznek azt megjelenítő modellek. Például ilyen modell a Noneuklid nyitólapról indítható Java-alkalmazás (nagy szürke gomb, "Noneuclid 2002.05a" felirattal). Sőt, ez a program rögtön két modellt is bemutat (sajnos a program kódjához nem sikerült hozzájutnom, így annak magyarítása elmaradt - de alapszintű angoltudás elegendő).

Az egyik modell a körmodell, a program alapértelmezésben ezt indítja el. Veszünk egy nyitott körlapot (fontos hangsúlyozni, a "széle" nem tartozik a körhöz), ennek belső pontjai a geometria pontjai, a kör szélére merőleges körívek pedig a geometria egyenesei. Így egy "egyenessel" egy rajta kívüli ponton át több (végtelen sok) olyan "egyenes" húzható, ami az elsőt nem metszi.

A másik modell a félsíkmodell (View -> Hyperbolic Model -> Upper Half-Plane). Ekkor veszünk egy nyitott félsíkot (a széle itt sem tartozik hozzá). Ennek pontjai adják a geometria pontjait, a félsík határoló egyenesére merőleges félkörívek pedig az egyeneseket. Az axióma itt is teljesül.

Megjegyzem, hogy Szilassi Lajos tanár úr Bolyai.exe nevű programja is elérhető a neten, ami a körmodellnek egy még teljesebb és részletesebb bemutatása.

Az elnevezésekről

Az elliptikus, parabolikus, hiperbolikus elnevezésekhez kis kitérőt kell tennünk. Nem tudom, hallott-e már a projektív geometriáról? Ha megengedi, most fog.

Képzelje el a hagyományos euklideszi síkot, és azon jó sok párhuzamos egyenest. Mi a közös ezen egyenesekben? Az állásuk: mindegyik ugyanúgy dől. Nos, a projektív geometria találmánya az, hogy minden egyeneshez rendeljünk egy plusz "pontot", ami az egyenes állásának felel meg (szoktuk úgy jelölni, hogy az egyenes megrajzolt vége mellé teszünk egy kis nyilat). Így a párhuzamos egyeneseket ugyanazzal a plusz ponttal egészítjük ki - ezeket a pontokat ideális pontoknak nevezzük, hiszen nem találjuk meg őket a közönséges síkunkon. Az összes ideális pontot ideális egyenesnek nevezzük. (Tessék belegondolni, hogy így újra az egyszeres elliptikus geometria egy modelljét állítottuk elő - bármely két egyenesnek van pontosan egy közös pontja!)

Most az ideális pontok és a kúpszeletek kapcsolatáról kell szólnom. Nyilván egy hagyományos ellipszishez, körhöz nem tartozik ideális pont, hiszen zárt alakzat. A hagyományos parabola szárai ugyanazon irányba mutatnak (a parabola tengelyének irányába), így a parabolához egy ideális pont tartozik. A hagyományos hiperbola szárai viszont két különböző irányba haladnak (az aszimptoták által megadott irányokba), így hozzájuk két különböző ideális pont tartozik.

Ennyi kitérő után az elnevezésekről.

A Riemann-féle geometria egyenesei zártak (gondoljunk a gömb főköreire), azaz hozzájuk 0 ideális pont rendelhető - a geometria ezért kapja az elliptikus jelzőt.
A Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria egyeneseinek különböző végei különböző irányba mutatnak (gondoljunk a körmodellre), azaz hozzájuk 2 ideális pont rendelhető - ezért nevezzük hiperbolikus geometriának. (Gyakorlatilag az ideális pontok a kör szélén helyezkednek el.)
Az euklideszi geometria minden egyeneséhez 1 ideális pont rendelhető, hiszen mindegy, merre haladok az egyenesen, az állása ugyanaz marad - ezért ezt parabolikus geometriának hívjuk.
A fenti elnevezések bevezetését Felix Klein javasolta.

Ön levelében említi a "negatív görbület" fogalmát. Ha megengedi, a görbület meghatározásába most nem mennék bele jobban, legyen elég annyi, hogy ha egy felület görbülete minden pontban állandó 0, akkor a hagyományos euklideszi (parabolikus) geometria működik rajt (sík). Amennyiben a görbület állandó pozitív érték, akkor geometriája elliptikus (gömb). Ha negatív, akkor - gondolom már kitalálta - geometriája hiperbolikus (pl. ún. pszeudoszféra egy darabja).

További részletekért érdemes fellapozni Kálmán Attila: Nemeuklideszi geometriák elemei című könyvét. Ebben minden fontos fogalom megtalálható, és elvileg legalábbis középiskolásoknak íródott.

Remélem levelem segít Önnek a kérdések megválaszolásában. Amennyiben további kérdései merülnek fel (amiben biztos vagyok), állok rendelkezésére. Véleményem szerint a középiskolai oktatásunk messze rangján alul kezeli ezeket a kérdéseket, de a helyzet a tendenciákat látva nem fog a közeljövőben javulni.

Utólagos engedelmével levelét és a rá adott választ elhelyezem honlapomon, talán másnak is segítségére lesz.

Üdvözlettel:

Trembeczki Csaba