Ismerkedés a hiperbolikus geometriával
2. óra
Átlépünk egy másik geometriai rendszerbe
Az óra leírása.
Az órát három nagyobb részre osztjuk. Az első részben keresünk valamit, ami áthidalja a körök és az egyenes közt érezhető űrt, egyenlőre mindenféle értelem nélkül, pusztán formálisan. Ehhez ismét segítségül hívjuk az alakzatok tulajdonságait.
Cél: egyszerű logikai átmenet ("ciklus") létrehozása
Eszköz: frontális munka a tanulók bevonásával, táblázat készítése
A második egységben veszünk egy nagy levegőt, és megpróbáljuk megvizsgálni az előbb "csak úgy" létrehozott ciklus(oka)t. Módszerünk, hogy megpróbálunk tulajdonságokat tulajdonítani ennek a valaminek. A tulajdonságokat a "szülőalakzatok", azaz a körök és az egyenes megfelelő tulajdonságaiból származtatjuk.
Cél: értelmes tulajdonságokkal felruházni a ciklus(oka)t, közben megismerkedünk a paraciklus és a hiperciklusok fogalmaival
Eszköz: a tanulók próbáljanak önállóan ötleteket adni, ha kell segítsünk.
A harmadik részben rá kell döbbennünk, hogy a ciklusok értelmes tulajdonságokkal bíró alakzatai lehetnek a geometriának, de a hagyományos geometriában nem léteznek. Válaszút elé kerülünk: ha ragaszkodunk a hagyományos geometriához, akkor el kell őket vetnünk. Ha ragaszkodnunk a ciklusokhoz, akkor le kell mondanunk a hagyományos geometriáról.
Cél: tudatosítani: a mi választásunk, hogy éppen milyen geometriáról gondolkodunk
Eszköz: frontális munka
A sok ellentétes tulajdonság miatt úgy érezzük, bár egyre hosszabb szakaszon egyre jobban megközelítik egymást, mégis űr tátong a körök és az egyenes között: mint amikor valaki a távolban lát egy kilátót, elindul felé, ám egyszer csak egy szakadék szélére ér, a kilátó pedig a szakadék másik szélén áll. Ezt az űrt próbáljuk meg kitölteni, hidat verve a szakadék két széle - a körök és az egyenes - közé. A további vizsgálathoz foglaljuk egyszerű táblázatba a körök és az egyenes legalapvetőbb tulajdonságait.
| Tul. \ Alakzat | Kör | ??? | Egyenes |
| Hosszúság | véges | végtelen | végtelen |
| Görbület | állandó (nem 0) görbületű | állandó (nem 0) görbületű | állandó (=0) görbületű |
Hogyan csökkenthetjük az eltérést a két alakzat között? Nagyon egyszerű módszerhez folyamodunk. Veszünk egy tulajdonságot a kör, egyet az egyenes oszlopából, és beírjuk a középső oszlopba. Így ez hasonlítani fog a másodikra és a negyedikre is, de nem lehet sem ez, sem az: formálisan átmenetet képzünk a körök és az egyenes között. (Csak annyira, mint piros kocka és zöld gömb között átmenetet jelent a piros gömb, vagy a zöld kocka!)
Ezen a módon készíthetünk "véges, egyenes vonalat" vagy "végtelen, állandó (nem 0) görbületű vonalat". Mindkettő - formálisan! - átmenet a körök és az egyenes között. Roppant butácskának tűnhet ismét a dolog, de nézzük csak az első variációt! Ez nem más, mint a szakasz. Egy teljesen normális geometriai alakzat. Lehet, hogy mégse olyan butácska dolgot csinálunk? Azonban a szakaszt nem tekinthetjük igazán átmenetnek a körök és az egyenes között. Nézzük a második variációt! Roppant érdekesnek tűnik, ilyet hagyományos geometriánkban nem találunk. Egyenlőre nevezzük ezt a valamit "ciklus"nak (így nem tudjuk összekeverni semmivel). Kérdés, tudunk-e a ciklusoknak értelmet tulajdonítani?
Vizsgáljuk meg a ciklust! Vannak-e tulajdonságai? Mivel az egyenes és a kör bizonyos tulajdonságaiból gyúrtuk össze, így természetesen ezek vannak, valamint minden tulajdonságot örökölnie kell szülőalakzataitól, ami kapcsolódik az örökölt tulajdonságokhoz. Ezért az egyeneshez hasonlóan,
a ciklus is minden határon túl meghosszabbítható (végtelen).
A körökhöz, mint állandó görbületű alakzathoz hasonlóan, a ciklushoz is
minden pontjában húzható érintő. Továbbá
szimmetrikusnak kell lennie az érintési pontban az érintőre állított merőlegesre és külső pontból a ciklushoz húzott érintőszakaszok egyenlők kell legyenek.
Alakul a kép? Ahhoz képest, hogy azt sem tudjuk, miről beszélünk, egész sokat tudunk róla... Nézzünk egy másik kérdést. Ha ez a valami geometriai alakzat, valahol lennie kell.
Hol találunk ciklust? Mivel átmenetet akartunk a körök és az egyenes között, a ciklust ott kell keresnünk a körök és az egyenes között.
Távolítva O pontot A-tól, a körök között nincs utolsó, legnagyobb sugarú kör. Ha azt akarjuk, hogy ne legyen üres rész, a ciklusok között kell lenni egy elsőnek. Ezt az első ciklust paraciklusnak (a rajzon l) nevezzük. A paraciklus után az egyenes felé haladva körrel már nem találkozhatunk, ezt a köztes részt a hiperciklusok (sötétebb rész) fedik le. A hiperciklusok között nincs utolsó, a félsíkot az e egyenes zárja le. (Ha nem lennének hiperciklusok, a paraciklusnak és az egyenesnek egymás mellett kellene lennie, ez viszont ellentmond annak, hogy nincsenek szomszédos pontok, bármely két pont között kell lennie továbbiaknak.)
Megjegyezzük még, hogy a ciklusok, mint minden kör, átmennek az A ponton és ebben a pontban érintőjük e egyenes. A félsíkot tehát három közös pont nélküli részre bontjuk (A-tól eltekintve): egyenes, ciklustartomány, körtartomány. A ciklustartományt két oldalról az e egyenes és az l paraciklus határolja.
Értelmeztük a ciklusok jó néhány alapvető tulajdonságát és megtaláltuk helyüket is. A ciklusokról alkotott képünk egyre teljesebb.
Eljött az idő, hogy megtegyük az utolsó nagy lépést. Szinte mindent tudunk már a ciklusokról, mintha ők is teljes jogú geometriai alakzatok lennének. Azonban emlékezzünk rá: a hagyományos síkot a körök és az egyenes hézagmentesen lefedik (előző órán vizsgáltuk), a ciklusoknak ott nincs helyük.
Azonban annyi mindent megtudtunk már a ciklusokról, hogy szinte kötelességünknek érezzük a matematika (geometria) részének tekinteni őket. Így a továbbiakban két lehetőségünk van: elutasítjuk ciklusok létezését és elfogadjuk az eddig tanult, hagyományos geometriát VAGY elfogadjuk ciklusok létezését és azt mondjuk, velük együtt új geometriáról beszélünk. Mi most ez utóbbit tesszük. (Hagyományos geometria alatt az iskolában eddig tanult, ún. euklideszi geometriát értjük.)
Mivel nem az eddig tanult, hagyományos geometriával foglalkozunk, várható, hogy furcsa dolgokba botlunk, amik esetleg mostani szemléletünk számára elfogadhatatlanok. Ez nem azt jelenti, hogy ezek az összefüggések lehetetlenek, hülyeségek, hanem azt, hogy eddigi tapasztalatainkon alapuló szemléletünk szűkös. A rajzok, amiket hagyományos, euklideszi táblára vagy papírra készítünk, csak torzan ábrázolhatják jelenlegi gondolkodásunk tárgyát, mert a sima síkot hézagmentesen megtöltik a körök és egyenesek, a ciklusok egyszerűen már nem férnek el. A ciklusok elfogadásával maga a sík torzul, mint a teli bőrönd, amibe még több ruhát gyömöszölünk.
Így fordulhat elő, hogy lerajzolunk egy görbe vonalat, és azt mondjuk rá: egyenes. Így fordulhat elő, hogy ha rajzolunk egy egyenest és azon kívül egy pontot, akkor TÖBB olyan egyenes is van, ami nem metszi az elsőt. Így fordulhat elő, hogy nincs értelme a hagyományos értelemben párhuzamos egyenesekről beszélni. Így lehet, hogy van olyan háromszög, aminek az oldalai egyenesek, és benne elfér minden más háromszög. Így lehet, hogy bármilyen kicsi szögben elfér egy egész egyenes. Ezek mind-mind logikus következményei a ciklusoknak, és a sort folytathatjuk...
vissza a Tartalomhoz