Tekintsünk egy e egyenest és legyen P pont e-től a δ = 60° elpattanási szöghöz tartozó d elpattanási távolságra. Rajzoljuk meg a P-ből induló két elpattanó félegyenest, legyenek h és i. A közéjük eső nagyobb, 240°-os szöget megfelezve kapjuk j-t. Így a félegyenesek között 120°-os szögek vannak. Felezzük meg őket és a szögfelezőkre felmérve P-ből a d távolságot, a Q és R pontban állítsunk merőlegest a szögfelezőkre. A kapott egyeneseket nevezzük f-nek és g-nek. Ekkor e, f, g egyeneseknek nincs közös pontjuk (h, i elpattan e-től, i, j elpattan f-től, j, h elpattan g-től).
Az e, f, g egyenesek által határolt alakzatot nevezzük határháromszögnek. Gondoljuk meg: ennél nagyobb "háromszöget" nem kaphatunk, mert oldalai egyenesek, azaz hosszuk végtelen. A határháromszögben el kell hogy férjen minden véges oldalú háromszög. Sőt, bizonyítható: a határháromszög véges területű! (A hagyományos geometriában bármilyen háromszögnél tudunk nagyobbat mutatni!)
| A hagyományos geometriában… | Új geometriai rendszerünkben… |
| minden háromszögnél van nagyobb. | van határháromszög. |
| a háromszögek területének nincs felső határa. | a határháromszög területe véges érték. |
A határháromszöghöz hasonlóan bármilyen sokszögnek elkészíthetjük a határalakzatát. Példának vegyük a határnégyzetet. Tekintsük e egyenest és legyen P pont a δ = 45°-hoz tartozó d elpattanási távolságra e-től, továbbá legyenek i1 és i2 a P-ből induló e-től elpattanó félegyenesek (hosszabbítsuk meg őket P-n túlra is). Az i1 és i2 közé eső 90°-os szögeket felezzük meg, majd a szögfelezőkre is mérjünk fel d távolságot P-ből. A szakaszok végpontjaiban emelt merőleges egyenesek (e,f,g,h) lesznek a határnégyszög oldalai.
Általánosítsuk teljesen a határnégyszög elkészítését! Hogyan hozhatunk létre egy n oldalú határsokszöget? Osszuk fel a P csúcsú 360°-os szöget f1, f2, …, f2n félegyenesekkel 2n egyenlő részre (minden szög 180°/n nagyságú). Mérjük fel az egyik félegyenesre a δ = 180°/n elpattanási szöghöz tartozó d elpattanási távolságot, a keletkezett szakasz végpontjában állítsunk merőlegest a félegyenesre, majd tegyük ugyanezt minden második félegyenesen, kapjuk az e1, e2, e3, …, en egyeneseket. Az ezek által határolt síkrészt nevezhetjük n oldalú határsokszögnek. A határháromszög területének végességéből adódóan minden határsokszög területe véges, bár az oldalszám növekedésével a terület is növekedik.
| A hagyományos geometriában… | Új geometriai rendszerünkben… |
| minden adott oldalú sokszögnél van nagyobb, ugyanannyi oldalú sokszög. | bármilyen oldalszámú sokszöghöz létezik határalakzat. |
| adott oldalú sokszögek területének nincs felső határa. | bármely határsokszög területe véges érték. |
| A hagyományos geometriában… | Új geometriai rendszerünkben… |
| minden adott oldalú szabályos sokszög szögei ugyanakkorák. | tudunk készíteni egyenlő oldalú és egyenlő szögű sokszöget, de a szögek függnek az alakzat nagyságától. |
Hagyományos geometriánkban a sík bármely egyenesétől azonos távolságra levő, ugyanazon félsíkba eső pontok egyenest adnak. Ez a nyilvánvaló tény más rendszerben egyáltalán nem teljesül. Például a gömbön egy gömbi egyenestől (főkörtől) azonos félgömbön, azonos távolságra eső pontok általában nem határoznak meg gömbi egyenest, csak ha a távolság a főkör kerületének fele. Legtöbbször gömbi kiskört alkotnak, ritkán pontot, ha a távolság a főkör kerületének negyede.
Bármely geometriai rendszerben az egyenestől egy oldalán azonos távolságra eső pontok együttesét távolságvonalnak nevezzük. Vajon most mi lehet ez?
Az e egyenes egy tetszőleges pontjában merőlegest emelünk, majd ettől mindkét irányba távolodva is megtesszük ugyanezt. (Megbeszéltük, hogy ezek a vonalak már nem rajzolhatók egyenes egyenesnek, csak görbének.) Ezeken a merőlegeseken felmérjük ugyanazon az oldalon ugyanazt a távolságot, ami egyre kisebbnek tűnik. De nem az, hiszen egyeneseken mértük fel!
Mivel a pontok az egyenestől azonos távolságra esnek, nem alkothatnak egyenest. Az elpattanó egyenes pontjairól megállapítottuk, hogy közelednek az egyeneshez, az elkerülő egyenesek pontjairól pedig azt, hogy távolodnak az egyenestől (lásd korábban).
A görbék közül nem lehet paraciklus sem, mert paraciklus egyetlen egy van, ez a vonal viszont távolságfüggő: kisebb távolság esetén kevésbé, nagyobb távolság esetén jobban görbül.
Igazából egyetlen olyan vonaltípust ismerünk, ami a fent említettekkel nem ütközik ellentmondásba: a hiperciklust.
| A hagyományos geometriában… | Új geometriai rendszerünkben… |
| egyenes távolságvonala egyenes. | egyenes távolságvonala hiperciklus. |