2006. február 9-én tört meg a jég, és a matematika szolgálatába állítottuk az iskola interaktív tábláját. A 9. évfolyam informatikás osztálya részesült az örömből, méghozzá mindjárt fejest ugrottunk a kétváltozós függvények világába. Ha már az egyváltozósokat úgyis tanultuk...

Az órán felhasznált program a GraphCalc volt, ami szabadon hozzáférhető és felhasználható. A fóliák az órai munkálkodás eredményei, sk kézírásommal. (Úgy is néz ki, de majd belejövök.) Az órán felhasználtam még két hajlítható drótdarabot, a parabolák elcsúsztatásának bemutatására.

1. A cím magáért beszél: Játék a parabolával (kétváltozós függvények). Felidéztük, miért is tudjuk ábrázolni az egyváltozós f(x) függvényeket derékszögű síkbeli koordinátarendszerben, és ez alapján hogyan is kellene elképzelni a kétváltozós f(x,y) függvények grafikonját a térbeli rendszerben.
   

2. Bemutattam a programot. Alapvetően három funkcióval bír: elég komoly számológép, egyváltozós függvény ábrázoló, illetve kétváltozós függvény ábrázoló modulból áll. A számológép funkciót nem használtuk, viszont az egyváltozós modulban megnéztük a másodfokú függvény alapvető transzformációit.
   

3. Hogyan lehet egy parabolából térbeli felületet gyártani? Valami egyszerű transzformációval, mondjuk toljuk el egy egyenes mentén. Ebből kaptuk az árkot.
   

4. Ilyen az árok, ha megjelenítjük a GraphCalc programmal. A zöld parabola az előzőleg megadott, a piros nyíl az eltolás iránya. Egy ilyen kétváltozós függvény egyenlete f(x,y) = x². Az = jel után nincs y, mert az árok nem függ az y független változó értékétől, csak az x-től!
   Érdekes megfigyelni, hogy kétváltozós esetben már az olyan egyszerű függvénytulajdonságok, mint a monotonitás vagy szélsőértékek is bonyolódnak! (Gondold meg: ha valaki az árok alján sétál végig, akkor nem fog tapasztalni sem növekedést, sem csökkenést. Pedig egyértelműen azt mondhatjuk, ennek a függvénynek minimuma egy egyenes, az y tengely.)
   

5. Próbálkozzunk más transzformációkkal! Logikusan adódik a z tengely körüli forgatás. Így készül a parabolaantenna, szakszerű nevén forgásparaboloid. (Piros nyíl mutatja a forgatást.) Azt figyeltük meg, hogy forgásparaboloidot nemcsak forgatással, hanem egy felfelé nyíló, eredetire merőleges síkú parabola mentén való eltolással is kaphatunk! (Zöld görbére ültetett kék görbék.)
   

6. Ilyen a forgatott parabola. Sajnos a zöld vonal kissé félresikerült... Jól megfigyelhető, hogy ennek a függvénynek a minimuma egyetlen pont, az origó. Bárhonnan közelítünk az origó felé, először csökkenést tapasztalunk, majd növekedést. Tudsz mondani olyant, amikor sem növekedést, sem csökkenést nem tapasztalunk a felületen sétálva? (A program több függvényt is tud egyszerre ábrázolni. Ha egy konstans értéket adunk meg, az egy vízszintes síkot jelent a megadott magasságban. Segítségével lehet vizsgálni a felület vízszintes metszeteit.)
   

7. A felületeken bekapcsolva hagyott rácsozaton jól látható, hogy megkaphatjuk egymásra merőleges síkú parabolákból. A forgásparaboloid formulája is ebből adódik: adjuk össze a különböző állású görbéket, azaz f(x,y) = x² + y².
   

8. Innen csak egy lépés egy másik érdekes felület: mi lenne akkor, ha a vezérparabolát (ami mentén tologatjuk a többit) nem felfelé, hanem lefelé nyitnánk? Egy lovakra való nyereg a jutalmunk! Hivatalos neve is majdnem ez, nyeregfelület.
   

9. A program által megjelenített felület. Több érdekes tulajdonsága van, középpontját (itt az origó) nyeregpontnak hívjuk. Nomármost a nyeregpont felé sétálva a felületen, értékelhetjük azt úgy is, mint minimum (egy kék görbén), de másik irányból érkezve mint maximum (zöld görbén). Vagy: vizszintes síkmetszeteit tekintve pl. 2 magasságban, két diszjunkt görbét látunk. Vajon milyen görbék lehetnek? (Párosával járnak, talán hiperbolák? Majd harmadikban válaszolhatunk a kérdésre.) Azonban ha a vízszintes síkmetszetet a nyeregponton át vezetjük, akkor eltűnnek a görbék, két metsző egyenest látunk! Tehát ezen a felületen is tudunk olyan utat járni, ahol se növekedést, se csökkenést nem tapasztalunk.
   

10. Az órán volt még idő érdekes kétváltozós függvények bemutatására, ezek megtalálhatók az emlékeztetőnek kiadott lapokon: 1. oldal ; 2. oldal

    ---

    Ha téged érdekelnek a fentiek, akkor ajánlom figyelmedbe ezeket a lapokat is!
    Kattints ide, ha minden érdekel!

    Trembeczki Csaba
    Kaposvár, 2006. február