Nemsokára-úgyis-itt-a-vakáció felkiáltással ismét felkértük Mr. Hitachit, segítsen már nekünk két tanóra erejéig. A témakör geometria, az órán használt program pedig a magyar fejlesztésű Euklides. (Aminek különböző verziói jogállását nem sikerült kideríteni, az biztos hogy az új verzió megvásárolható. Nekem egy régebbi, ingyenes verzió fut. Volt egy hivatalos honlapja is a www.euklides.hu-n, azonban ezt az oldalt már nem találtam a weben.)

Mivel a program kicsit bonyolultabb a múltkor megismertnél, először a súgó állományokba olvasgattunk bele.

A témakörön belül sok mindennel foglalkozhatunk. Ismétlés végett mi a háromszög nevezetes vonalait, pontjait tekintettük át. Pár kattintás után meg is rajzoltuk az elsőnek felemlegetett magasságpontot (M). A vektorgrafikus program egyik előnye, hogy a bázispontok segítségével mozgathatjuk a létrehozott alakzatokat. Így ha megfogjuk a C csúcsot, észrevesszük, hogy a magasságpont
- pontosan akkor esik a háromszögbe, ha az hegyesszögű;
- pontosan akkor esik a háromszögvonalra, ha az derékszögű (méghozzá a derékszögű csúcsba);
- pontosan akkor esik a háromszögön kívül, ha az tompaszögű.
Tudnál a fentiekre magyarázatot is adni?

           

Ugyanez a tapasztalatunk, ha a köréírt kör középpontját (O) vizsgáljuk. A C csúcsot mozgatva a köréírt kör középpontja
- pontosan akkor esik a háromszögbe, ha az hegyesszögű;
- pontosan akkor esik a háromszögvonalra, ha az derékszögű (méghozzá az átfogó felezőpontjába);
- pontosan akkor esik a háromszögön kívül, ha az tompaszögű.
A második esetet már bizonyítottuk is! Melyik tétel szólt erről?

           

Megkerestük a súlypontot is. (Vajon S kerülhet a háromszögön kívülre?) Az ábrán meghagytam az előző két nevezetes pontot, így egy nagyon érdekes megfigyelést tehettünk: a köréírt kör középpontja, a magasságpont és a súlypont mindig egy egyenesre esik! Ez az Euler-egyenes. Sőt, ránézésre jól látható, hogy a súlypont 2:1 arányban osztja az MO szakaszt. A második kép már a beírt kör középpontját (K) is tartalmazza (ez nem esik egy vonalba a többivel). A harmadik képen megjelenítettem a szerkesztés közben keletkezett összes segédvonalat :-)

           

Az első óra végén még feltettem egy kérdést. Adott egy paralelogramma, aminek ABD csúcsai köré kört írunk. A D csúcsot körbefuttatva ezen a körön, vajon mit ír le közben a C csúcs? A második órán megválaszoltuk a kérdést, bemutatva az Euklides nyomvonal funkcióját. (Hányféleképp szerkeszthetünk paralelogrammát?)

Ezek után kerestünk egy nehezebb diót. Adott egy háromszög a köré írt körével. A C csúcsot végigvezetve a köréírt körön, milyen alakzatot ír le a háromszög magasságpontja? A tippet igazolta a program is: egy körről van szó, ami nagyon úgy tűnik, egybevágó a köréírt körrel. Hogyan lehetne ezt igazolni? Több ötletünk is lehet!
- A kört megkaphatjuk az AB oldal egyenesére való tükrözéssel. Vagyis azt kellene bizonyítani, hogy a magasságpont oldalra vonatkozó tükörképe éppen a köréírt körre esik. (Miért?)
- A transzformációknál maradva, a kört megkaphatjuk egy CM vektorral való eltolással is. Ehhez azt kellene igazolni, hogy a CM állandó (iránya és nagysága sem változik).
- Hogyan lehetne még igazolni, hogy egy pont egy körön (köríven) mozog? A mozgás során van egy állandó szakaszunk, az AB. Az AB szakaszt az M pontból is "látjuk": hát persze, látószögkörív segítségével. Ehhez azt kell igazolni, hogy az AMB< szög állandó.

Ez utóbbira kerestünk magyarázatot, amit részben meg is találtunk. Mivel magasságokat húztunk, az ábrán elég sok derékszögű háromszög alakult ki. Ezek közül kiválasztva az AQB és ARB háromszögeket, egyik szögük α illetve β. Így a másik szögük csak 90°-α és 90°-β lehet. Ezért AMB< = 180°-(90°-&alpha)-(90°-β) = α + β = 180°-γ. Ez utóbbi akkor állandó, ha γ is állandó. Viszont γ is egy látószög, hiszen a C csúcsból a rögzített AB szakasz ekkora szögben látszik. Sajnos csak részben vagyunk kész a bizonyítással. Házi feladat utánagondolni, hogy mi történik, amikor a C csúcs
- éppen derékszögű háromszöget határoz meg?
- a magasságpontot a háromszögön kívülre űzi?
- éppen az A vagy B csúcsba esik?
- a rövidebb AB körívre esik?