Nos, két dolog nem stimmel az ábrával kapcsolatban. Az egyik programozástechnikai probléma. A program (általában az egyszerű függvényábrázoló programok) nem képes kezelni, ha egy függvény adott pontban megszakad. Mint ahogy ez a függvény is teszi, minden egész pontban ún. nem megszüntethető, másodfajú szakadása van. Ezt a gondot jelzik a gyakorlatilag függőleges vonalak, ugyanis azoknak nem lenne szabad ott lenni. A jövőben is minden alkalommal tekintsünk el tőlük. (A gond abból adódik, hogy a program valamilyen felbontásban egymás után számolja ki a képernyőpontokhoz tartozó függvényértékeket, majd a kapott pontokat egy szakasszal összeköti.) Egyébiránt az alapbeállítás a négyzetrács felbontását 2 egységnek adja.
A másik viszont magával a függvénnyel kapcsolatos matematikai probléma. A programban egyetlen olyan függvényt találtam, ami valamennyire megfelel az [x] általunk ismert "x-nél nem nagyobb, legnagyobb egész szám" meghatározásnak, ez pedig az integer part, jelekkel írva ipart(x). Azonban ez a függvény csak nemnegatív változóra adja vissza az egészrész általunk elfogadott értékét, negatív számokra gyakorlatilag eggyel feljebb van tolva.

Már a legelején szögezzünk le valamit. A számítógép segítségünkre lehet középiskolai tanulmányiank során, de ismernünk kell a hiányosságait is! Én úgy gondolom, ez nem probléma, hiszen értelmes ember kritikával fogadja el, amit lát, azaz minden gondolkodásra neveli.

           

Ha a korábban emlegetett függőleges vonalaktól eltekintünk, a kézzel, illetve a gép által rajzolt függvény megegyezik. Mivel 2^x negatív számokra ]0,1[ -ből veszi fel értékeit, azok egészrésze azonosan 0. x = 0-nál felugrik y = 1-re, majd x = 1-nél y = 2-re. Mindig, amikor a függvényérték eléri a következő egész számot, bemutat egy ugrást. Mivel a gyorsuló növekedés miatt ezek egyre hamarabb következnek be, egy végtelen lépcsőt kapunk, amin a lépésmagasság állandó 1, ám a lépcsők egyre keskenyebbek. A lépcsők jobb végpontjában nincs függvényérték, csak a bal végpontokban.

           

Azt kell meggondolnunk, hogy ha x-nek tekintjük az egészrészét, akkor előre haladva a vízszintes tengelyen, egy egész számot elérve a következő egészig annak értékét adja. Tehát pl. [-3,2[ intervallumban végig [x] = -3 , azaz y = 2^-3 = 1/8. Így most a lépcsők vastagsága állandó 1, azonban magasságuk exponenciálisan növekszik.

           

Nyilván nem, hiszen a törtrész függvényt az egészrész segítségével lehet definiálni: y = {x} = x - [x] . A függőleges vonalak most is csak sormintának tekintendők. A probléma az előzőből adódik: negatív változóra eggyel feljebb kellene tolni az értékeket.

           

A 2^x függvény értékei negatív változóra a ]0,1[ intervallumba esnek, így azon a részen {2^x} = 2^x . Azonban x = 0-t elérve y = 1 lenne, aminek törtrésze 0, tehát visszaesik az x tengelyre. Tulajdonképpen az eredeti függvényt feldaraboljuk az egész értékeknél, majd az egyes darabokat ráejtjük az x tengelyre.

           

Ha ügyesek vagyunk, találunk olyan intervallumot, amin x = {x}, ez pedig a [0,1[ . A függvény ezt a viselkedést ismétli minden [k, k+1[ intervallumra, ahol k egész szám.

           

Először is állapítsuk meg, hogy y = 2^1/x nincs értelmezve x = 0-ra. Azután jobbra indulva x minél nagyobb, 1/x annál kisebb, vagyis maga a függvény is csökken. Azonban 0-nál kisebb nem lehet, bár minden határon túl megközelíti: 2⁰ = 1-t nem éri el. Ha x a 0-hoz közelít pozitív számokon keresztül, 1/x minden határon túl növekszik, vagyis y = 2^1/x is ezt teszi. A negatív irányba távolodva 1/x ismét 0-hoz tart, csak 0-nál kisebb számokon keresztül. Így 2^1/x megint 2⁰ = 1-hez tart.
Második függvényünket alakítsuk át: y = 2^(x+2)/(x+1) = 2^{(x+1+1)/(x+1)} = 2^{1 + 1/(x+1)} = 2*2^1/(x+1) . Így az előző függvényünkből transzformációk segítségével megkapható. (VÍzszintesen toljuk 1 egységet a negatív irányba, illetve x-tengelyhez képest kétszeresére nyújtjuk.)

A z = f(x,y) kétváltozós esetben a "zérushelyet" az x-y síkon kell keresnünk (piros sík). Ez lehet akár az x-y síkba rajzolt y = g(x) függvény. Ezt a formulát átrendezve y-g(x) = 0 formát kapunk, majd több ilyet összeszorozva kapunk egy kétváltozós gyöktényezős alakot. Ha pedig ennek az elejére "z =" kifejezést illesztünk, egy kétváltozós függvényt kapunk. Példának tekintettük az alábbi három kétváltozós függvényt.

z = (x-3)(x+1)(y-1)/15	z = xy(x-y)(x+y)/40	z = y(y-x2+3)/10

           

A felülnézeteken jól látható, hogy hol húzódnak a "zérushelyek".
Első függvényünk az x = 3; x = -1 és y = 1, tengelyekkel párhuzamos egyenesekben metszi az x-y síkot.
Másodszor az x = 0; y = 0 tengelyek, illetve x = y és x = -y, a tengelyekkel 45°-os szöget bezáró egyenesek a "zéróhely".
Végül az y = 0 tengelyben, illetve az y = x² - 3 parabolában metszi a kétváltozós függvény a z = 0 síkot.

Trembeczki Csaba
Kaposvár, 2006. október