Tanársegéd: Mr. Hitachi 4.

(tanóra az interaktív tábla segítségével, 2006. december 19)

Az óra tulajdonképpen két óra volt, mert hétfőn papíron próbáltuk elképzelni ezeket a függvényeket. Azért többségüket egész jól eltaláltuk, ha jól emlékszem :-)) A sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) függvények alaptranszformációit (eltolások és nyújtások) korábban már megbeszéltük, így a fenti két órán érdekesebb transzformáltakra is jutott idő.

Mivel gyakorlatilag a fizika teremtette meg nekünk a trigonometrikus függvényeket, az ott használt fogalmak - legalábbis szerintem - sokkal szemléletesebbek. Ezért a trigonometrikus függvényeknél - és csak itt - a periódus helyett inkább a frekvencia, az értékkészlet helyett az amplitúdó fogalmát használom. A sorba logikusan beillik az interferencia is. A GraphCalc-ot már nem kell bemutatnom. A transzformációkat csoportosítottam attól függően, hogy 'kimeneti' vagy 'bemeneti' jellemzőket változtat meg a trigonometrikus függvényen.

  • Az első körbe az y tengely mentén való érdekesebb nyújtások kerültek. Akkor kapunk ilyen transzformációt, ha a trigonometrikus függvény 'kimenő' értékét egy függvénnyel szorozzuk. Például az ábrákon sorban f(x) = xsin(x); g(x) = x2sin(x); h(x) = (sinx)/x.

    Szépen látszik, ahogy az együttható-függvények (y = x; y = x2; y = 1/x) beszorítják a sin(x)-t két egyenes, két parabola vagy két hiperbola közé. Az is leolvasható az ábrákról, hogy a szorzatfüggvények frekvenciája változatlan (de nem peridoikusak!), csak amplitúdójuk változik az együttható függvényében. Az értékkészlet önmagában nem jellemzi ezeket a függvényeket.
    Ugye mlékszünk emelt szintről az an = [sin(1/n)]/(1/n) sorozatra? A rendőr-elv segítségével számítottuk ki határértékét, ami 1-nek adódott. Nos, a h(x) = (sinx)/x függvény pont ugyanezt teszi, miközben x tart a 0-hoz. Bár a függvény nincs értelmezve az x = 0 helyen, mindkét oldalról 1-hez tart. Emelt szinten hamarosan szólunk erről a jelenségről.
    A fenti függvények esetében csak az amplitúdó (kimeneti jellemző) változását figyelhetjük meg, a frekvencia (bemeneti jellemző) nem módosul.

  • A fenti 'csomagból' picit továbblép az i(x) = |tan|x| - 1| függvény, hiszen megjelenik a tangens függvény argumentumában egy abszolútérték. Az első képen maga a függvény látható, a másodikon az a folyamat is, ahogy lépésről-lépésre eljutunk oda.

    Lássuk csak! Az egyszerűség kedvéért tekintsük egyenlőre az x tengely pozitív felét, így nem kell a belső abszolútértékkel foglalkoznunk. Induljunk ki az y = tan(x)-ből (piros), toljuk egyet lefelé y = tan(x) - 1 (narancs), majd tükrözzük a vízszintes tengelyre y = |tan(x) - 1| (zöld). A független változón használt |x| abszolútérték jelentése pedig (kék), hogy az origótól valamennyit negatív irányba lépve ugyanazt az értéket kapjuk, mint ugyanannyit lépve pozitív irányba.
    A geometria nyelvén ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy
    1. a külső |f(x)| abszolútérték az x tengely alatti részek 'feltükrözése' az x tengelyre (vagyis az x tengely alatt nem marad semmi).
    2. a belső f(|x|) abszolútérték az y tengely jobb oldalának 'áttükrözése' az y tengelyre (vagyis a jobb oldal változatlanul megmarad).
  • Most végezzünk a független x változóval műveleteket. A két példának hozott függvény a j(x) = sin(1/x); k(x) = sin(x2) (órán a második nem jutott eszembe).

    Vegyük először a k(x) = sin(x2)-t. Az origótól távolodva a függvény frekvenciája növekszik. Gondoljunk arra, hogy k-val szorozva x-t a frekvencia is k-szorosára növekszik. Most viszont egy folyamatosan növekvő függvénnyel (y = x) szoroztuk x-t! Logikusan adódik, hogy minél nagyobb a szorzó, annál sűrűbb a függvény.
    A j(x) = sin(1/x) függvény esetén az előzővel ellentétben nem az origótól távolodva, hanem éppen ahhoz közeledve növekszik az argumentum. Így a sűrűsödéseket is ott figyelhetjük meg. Az origótól távolodva 1/x értéke nullához tart, de negatív x-re alulról, pozitívra felülről. Viszont azt is tudjuk, hogy sin0 = 0. Így sin(1/x) tart 0-hoz alulról (felülről), miközben x tart a plusz (minunsz) végtelenbe, nem hullámzik többet.
    Mindkét esetben csak a frekvencia (bemenet) változik, az amplitúdó (kimenet) nem.

  • A transzformációk között utolsóként említsük meg az interferenciát. Ez a jelenség hullámok találkozásakor (trigonometrikus függvények összegzésekor) jelentkezik. Itt egy elég egyszerű összeget látunk, l(x) = sin(2x) + cos(x).

    Figyeljük meg, hogy ebben az esetben a hullámhegyek az y = sin(2x); y = cos(x) függvények nemzéró metszéspontjaiban vannak.

  • Ha már az inverz függvényekről is beszéltünk, lássunk két példát: m(x) = arcsin(x); n(x) = arctan(x). Szépen megfigyelhető a függvény és inverzének geometriai kapcsolata.

    Házi feladatok. :-))

  • Keressünk függvényeket, melyek bár periodikusak, mégsem tudunk legkisebb periódust (alapperiódust) meghatározni hozzájuk! Mi a frekvenciájuk?
  • Ha már úgyis itt a karácsony... Mi lehet a karácsonyfadíszre emlékeztető függvény formulája?
  • Keressünk minél több feltételt arra, mely függvények biztosan invertálhatók, és melyek biztosan nem?

    Ha téged érdekelnek a fentiek, akkor ajánlom figyelmedbe ezeket a lapokat is!
    Kattints ide, ha minden érdekel!

    Trembeczki Csaba
    Kaposvár, 2006. december