Tanársegéd: Mr. Hitachi 6.

(tanóra az interaktív tábla segítségével, 2007. április 23.)

Egyetlen interaktív órát tartottunk a kúpszeletek témakörében. Az előtte levő órákon bevezettük a kúpszeletek fókuszpontos definícióit, illetve azokból koordinátageometriai egyenleteiket. Pár szót ejtettünk a kúpról, illetve annak metszéseiről is. Ezeket a végén összefoglaljuk.

  • Első lépésben vegyük sorra a három megközelítést. Tulajdonképpen ugyanazon görbének három teljesen különböző definíciójáról van szó. Külön tudjuk definiálni például a parabolát, mint
    - kúpszeletet (részletesebben később);
    - olyan pontok halmazát a síkon, melyeknek a sík egy pontjától és azon nem átmenő egyenesétől azonos távolságra vannak;
    - a Descartes-féle koordinátarendszer y = x2 egyenletét kielégítő P(x,y) pontok halmazát.

    Világosan kell látni, hogy "parabola" mint megfogható matematikai dolog egyetlen van a transzformációktól eltekintve, csak háromféleképpen beszélünk róla. Viszont hogy ez tényleg így van, bizonyítani kell(ene). Tulajdonképpen órán az egyenlet levezetésével bebizonyítottuk, hogy a fókuszpontos definíció és az egyenletes meghatározás ugyanaz. Ugyanígy le kellene vezetni, hogy a kúp megfelelő metszetéhez lehet fókuszpontot és vezéregyenest rendelni.

  • Lássuk először a fókuszpontos meghatározásokat.
    - A parabola a sík azon pontjainak halmaza, melyek a sík adott F fókuszpontjától és azon át nem haladó v vezéregyenesétől egyenlő távolságra vannak. A fókusz és a vezéregyenes p távolságát a parabola paraméterének nevezzük.
    - Az ellipszis a sík azon pontjainak halmaza, melyek a sík két különböző F1 és F2 fókuszpontjától mért távolságainak összege állandó. Ez az állandó 2a az ellipszis nagytengelye (a fókuszokon átmenő egyenes ellipszisbe eső szakaszának hossza).
    - A hiperbola a sík azon pontjainak halmaza, melyek a sík két különböző F1 és F2 fókuszpontjától mért távolságainak különbsége állandó. Az állandó 2a a hiperbola nagytengelye (a fókuszokon átmenő egyenes hiperbolaágak közé eső szakaszának hossza).

    Mindhárom görbét roppant egyszerűen megjeleníthetjük a magyar fejlesztésű EUKLIDES programmal. A program régebben letölthető volt a www.euklides.hu weboldalról (voltak ingyenes verziók is), azonban manapság az oldal sajnos nem elérhető. Készítői László István és Simon Péter.
    Az alappontok felvétele után kijelöljük a fókuszpontokat, a vezéregyenest és az állandókat reprezentáló szakaszokat. Ellipszis esetén ez a szakasz hosszabb kell legyen, mint a fókuszok távolsága; hiperbola esetében rövidebb. A programmal az alappontokat mozgathatjuk, ami szépen mutatja, hogyan változik a megfelelő görbe. Például ellipszis esetén a fókuszpontokat közelítve egymáshoz, az ellipszis "elkörösödik". Parabola esetében a fókuszt a vezéregyeneshez közelítve meredekebb görbéhez jutunk, távolítva a görbe ellaposodik.

  • Második nekifutásra megnéztük a kúp metszéseit, előtte azonban szóljunk néhány szót magáról a kúpról. A használt ingyenes szoftver a K3DSurf 0.5-ös verziója, fejlesztője Abderrahan Taha. Keressünk rá a neten! (A kúp angolul Cone.)

    Kúpot úgy kapunk, hogy veszünk egy pontot a térben (ez lesz a kúp csúcsa), azon át egy egyenest (ez lesz a kúp t tengelye). Vegyünk egy ugyanezen ponton átmenő, azonban az előzőtől különböző egyenest (ez a kúp a alkotója), majd forgassuk meg t körül (feltételezzük, hogy a tengely és az alkotó nem merőleges). A kapott felület által határolt térrész a kúp, a felület a kúp palástja. A keresett görbéket a kúppalást megfelelő síkmetszeteiként kapjuk.
    A program lehetőséget ad a térbeli koordinátákra vonatkozó feltételek bevezetésére, így tudjuk a metszetet láttatni. Ezt a CND (condition) pontban találjuk. Lehetőség van animáció bekapcsolására, amivel tetszőleges forgás közben tekinthetjük meg az alakzatot. A szoftver rengeteg lehetőséget ad a különböző fajta megjelenítésekre, illetve további funkciói is vannak, amiket nem részletezek.

  • Elsőnek a legegyszerűbb alakzattal, a körrel foglalkoztunk. Kört úgy kapunk, ha egy, a kúp tengelyére merőleges síkkal vágjuk el a palástot. (CND: z < 0.5; a kapott metszetet kihúztam pirossal.) Jól látható, de nem bizonyítjuk, hogy a kúp tengelye áthalad a kivágott kör középpontján. Felülnézetben még szebben látszik a kapcsolat.

  • Ha egy kicsit elmozdítjük a tengelyre merőleges helyzetből a metsző síkot, akkor már nem kört metszünk ki a palástból, hanem ellipszist. (CND: 0.3x + 0.3y + z < 0.5, de nyugodtan próbálkozzunk más értékekkel is.) Felülnézetben úgy tűnik(!), az ellipszis egyik fókuszpontja éppen a kúp tengelyére esik.

  • Tovább döntve a metsző síkot, egyszer csak elérünk egy állapotot, amikor a sík párhuzamossá válik pontosan egy alkotóval. Ekkor a két piros ág széttartó lesz. Csak az egyik palástba metszünk bele, a kapott görbe parabola. (CND kb.: 0.6x + 0.6y + z < 0.6.) Megint úgy tűnik(!), hogy a parabola fókusza a kúp tengelyére esik. A vezéregyenes hozzávetőleges helyét is meghatározhatjuk.

  • Folytassuk a sík tengellyel bezárt szögének növelését! Mivel már nem párhuzamos egy "szélső" alkotóval a sík, így belemetsz a kúp mindkét, alsó és felső palástjába is. Mi órán a jobb láthatóság kedvéért a síkot annyira megdöntöttük, hogy párhuzamos lett a kúp tengelyével. (CND: x + y < 0.5) Természetesen hiperbola esetén már látszólag sem eshet egyik fókuszpont sem a tengelyre. Viszont egy ennél sokkal érdekesebb megfigyelést tehetünk: szemből nézve (második ábra) a pirossal kihúzott metszet nyilván nem lóghat túl a "szélső" helyzetű kék alkotókon, azonban egyre inkább hozzájuk simulnak. A hiperbolaágakhoz tartozó ezen egyeneseket aszimptotáknak nevezzük.

    Felhívom mindenki figyelmét arra, hogy minden megfigyelésünk csak látszat! A megállapításokat minden esetben bizonyítani - vagy cáfolni kell(ene)!!!

  • Búcsúzzunk el a remek K3DSurf programtól, és lássuk a harmadik megközelítést, az egyenleteket. Ehhez a GrafEq 2.12 ingyen letölthető és kipróbálható verzióját használtuk. A program megtalálható a www.peda.com oldalon, más remek alkalmazásokkal együtt. Begépelve például az x2 + y2 = 16 egyenletet, egy origó középpontú, 4 egység sugarú kör jelenik meg a képernyőn. A négyzetes tagokat különböző értékekkel osztva és összeadva, 1-gyel egyenlővé téve ellipszishez jutunk, kivonva őket hiperbolához. Parabolát a már megismert y = x2 megfelelő hányadosaként kapunk. Egyenletek részletesen a táblaképen.

    Láthatjuk, hogy az ellipszis nagytengelyének fele az x2 nevezőjének négyzetgyöke, a kistengely fele pedig az y2 nevezőjének gyökével egyenlő. Az is megfigyelhető, hogy hiperbola esetében a nagytengely az x2 nevezőjének gyöke - hasonlóan az ellipszishez.
    A második ábrán pedig egy még érdekesebb dolgot látunk. Nevezetesen, hogy kissé átalakítva a hiperbola egyenletét, megkapjuk aszimptotáit! Alakítsuk szorzattá a négyzetek különbségét, majd tegyük a szorzatot nullával egyenlővé. Külön-külön tekintve őket az aszimptoták egyenleteihez jutunk. Ezzel megerősítettük korábbi megfigyelésünket!

    Összefoglaló táblázat
      Fókuszponttal Egyenlettel Kúpmetszetként
    Kör Egy adott O középponttól azonos r távolságra levő pontok halmaza a síkon. O(u,v) középpontú, r sugarú kör egyenlete:
    (x-u)2 + (y-v)2 = r2
    		 A kúpot tengelyére merőleges síkkal metszük el a kúp csúcsán kívül.
    Ellipszis Azon pontok halmaza a síkon, melyeknek két adott F1 és F2 fókuszpontoktól mért távolságainak összege állandó 2a ( > d(F1F2)). F1(-c+u,v) és F2(c+u,v) fókuszpontú, 2a állandójú (a>c) ellipszis egyenlete:
    (x-u)2/a2 + (y-v)2/b2 = 1,
    ahol b2 + c2 = a2     		A kúpot csúcsán át nem haladó, tengelyével 90°-nál kisebb szöget bezáró síkkal metszük, ami nem párhuzamos egyetlen alkotóval sem.
    Parabola Egy adott F fókuszponttól és azon kívüli adott v vezéregyenestől azonos távolságra eső pontok halmaza a síkon. F(u,p/2+v) fókuszpontú, y = -p/2+v vezéregyenesű parabola egyenlete:
    y = (x-u)2/(2p) + v
    		 A kúpot a csúcsán át nem haladó olyan síkkal metszük, ami pontosan egy alkotóval párhuzamos.
    Hiperbola Azon pontok halmaza a síkon, melyeknek két adott F1 és F2 fókuszpontoktól mért távolságainak különbsége állandó 2a ( < d(F1F2)). F1(-c+u,v) és F2(c+u,v) fókuszpontú, 2a állandójú (c>a) hiperbola egyenlete:
    (x-u)2/a2 - (y-v)2/b2 = 1,
    ahol a2 + b2 = c2     		A kúp csúcsán át nem haladó metsző sík pontosan két különböző alkotóval párhuzamos.

    Uff.

    Házi feladatok (Gondolkozz, használd az említett programokat és a netet!)

  • A kúpot különböző síkokkal metszve további három alakzatot is kaphatunk (bár messze nem ilyen szépeket). Mik ezek? Hogyan kell a metsző síkot beállítani hozzájuk?
  • Mi történik, ha az ellipszis, illetve hiperbola fókuszpontjait távolítjuk (közelítjük)?
  • A kúpszeletes és a fókuszpontos meghatározás kapcsolatának bizonyításában furcsa nevű gömböket használunk. Kiről nevezték el a gömböket?
  • Tényleg igaz, hogy az ellipszis egyik, illetve a parabola egyetlen fókuszpontja a kúp tengelyére esik? Vagy ez nem igaz, csak szemünk tréfál meg minket?
  • Mi lehet az egyenlete a fektetett parabolának? Mi lehet az egyenlete az álló hiperbolának? És a függőlegesen karcsú ellipszisnek?
  • Nem csak kúpot metszve kaphatunk ellipszist. Vajon milyen térbeli testet vághatunk el hozzá? Hogyan?

    Ha téged érdekelnek a fentiek, akkor ajánlom figyelmedbe ezeket a lapokat is!
    Kattints ide, ha minden érdekel!

    Trembeczki Csaba
    Kaposvár, 2007. április