Törtek és lánctörtek

A valós számok halmaza (R) két diszjunkt (közös elem nélküli) halmaz egyesítése. Az egyik halmaz a racionális számok halmaza (Q), a másik pedig az irracionális számok halmaza. Definíció szerint racionálisnak nevezünk egy törtszámot, azaz
Q = { a/b, ahol a és b egész számok, de b nem 0 }.
A valós számok egyik megjelenési formája a tizedestört alak. Ekkor a szám egész részét tizedesvesszővel (illetve más nemzeteknél tizedesponttal) választjuk el a törtrésztől, pl. 6,123 vagy 6.123 . A tizedestört alakú számokat három csoportba oszthatjuk: vannak véges és végtelen, de szakaszos tizedesek, illetve végtelen, nem szakaszos tizedesek. A logika szerint nincs más lehetőség.
Vzsgáljuk meg, a racionális számok milyen tizedestörtként állíthatók elő. Tizedestört formába minden tört alakú szám könnyedén átírható, csak el kell végezni az osztást. Így kaphatunk véges tizedestörteket (pl. 13/16 = 0,8125); illetve végtelen, de szakaszos tizedeseket: 41/7 = 5,85714285714...). Úgy tűnik, más lehetőség nincs. Hogy miért? Gondoljuk át az osztás elvégzésének folyamatát.
Egy egész szám osztási maradékai mindig kisebbek, mint maga a szám (pl. a 7-re 0,1,2,3,4,5,6), ezért csak véges sokan lehetnek. Két lehetőség van az osztás során: vagy megkapjuk egyszer a 0 maradékot, vagy nem. Ha megkapjuk, akkor az osztás folyamata véget ér, tehát a tizedes véges lesz. Ha nem kapjuk meg a 0 maradékot, akkor viszont véges sok lépés után elfogynak a különböző maradékok, valamelyik újra előkerül. Viszont onnan kezdve minden azt követő maradék is elő fog kerülni, azaz a tizedestört végtelen lesz, de ismétlődő.
Kimondhatjuk, minden racionális szám felírható véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestört formában.

Visszafelé sem akkora ördöngösség, gondoljuk meg a következőket. A véges tizedestörteket mindig felírhatjuk egy egész szám és 10 alkalmas hatványának hányadosaként, pl. 0,314 = 314/1000. Gyakorlatilag olyan hatványra emeljük a 10-t, amennyit léptetjük a tizedesvesszőt.
Kissé nehezebb a végtelen szakaszos tizedes átírása. Példának vegyük a 4,5321321321... számot. Tekintsük a következőket:

41:7=5,857142...
60
40
50
10
30
20
6...
(A)4,5321321321...=X
(B)45,321321321...=10X
(C)45321,321321321...=10000X
(C-B)45276=9990X
45276
X=
9990
A fenti eljárást bármely végtelen szakaszos tizedestörtre elvégezhetjük.
Kimondhatjuk, minden véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestört átalakítható racionális szám formára.

Összefoglalva: a racionális számok pontosan a véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestörtek.

Továbbgondolva egy lehetőség marad: az irracionális számok pontosan a végtelen, nem szakaszos tizedestörtek.

No, eddig nem sok újat mondtunk. Éppen itt az ideje!

Legyen egy racionális szám, pl. 43/30. A 43/30-ból válasszuk le az egész részt: 1 + 13/30. Ha most a 13/30-nak vesszük a reciprokát (30/13), akkor abból is leválaszthatjuk az egészeket: 2 + 4/13. Játszuk el ezt újra: 13/4 = 3 + 1/4. Folyamatosan írva:

43 13 1 1 1 1
= 1 +
= 1 +
= 1 +
= 1 +
= 1 +
30 30 30 4 1 1
2 +
2 +
2 +
13 13 13 1
3 +
4 4
Észrevehetjük, hogy az egymásba ágyazott törtek számlálóiban (a reciprok kialakítása miatt) csupa 1 szerepel. Ezek szerint az ilyen formájú törtek értékét csak a leválasztott egészrészek befolyásolják. Elegendő ezeket és a tört formáját megjegyezni:
43
= [ 1, 2, 3, 4 ]
30
Az ilyen törteket nevezzük lánctörteknek. Formailag szögletes zárójelben soroljuk fel a benne szereplő egész számokat.
Vajon minden törtszám átalakítható ilyen formába? Az eljárás biztosan lefolytatható, egyetlen kérdés merül fel vele kapcsolatban: véget ér, vagy végtelen sokáig folytatjuk? Vegyük észre, hogy az egészrész leválasztása miatt az eredeti tört számlálója mindig kisebb vagy egyenlő, mint volt, illetve biztosan kisebb, mint a nevező. Miután vesszük a reciprokát, újra ez a helyzet alakul ki, azaz a törtekben fellépő számok mindig kisebbek lesznek. (Elegendő pozitív számokat vizsgálni, negatív szám esetén az egész kifejezés elé kell írnunk egy mínusz jelet.) Mivel a számlálóban és a nevezőben is egész számok szerepelnek, az eljárás minden törtszámra véges sok lépésben véget ér.
Gondoljuk meg fordítva is: induljunk ki egy véges lánctörtből, írjuk fel a megfelelő formába. Ekkor véges sok egymásba ágyazott törtet kapunk, amit hátulról visszafelé átalakíthatunk egyetlen törtté, hiszen racionális számok összege, különbsége, reciproka is racionális szám. (Olvasd visszafelé a példát!)
Kimondhatjuk, a racionális számok pontosan a véges lánctörtek.

 
Készítsünk törtből lánctörtet!

Készítsünk lánctörtből törtet!

[ ]
A lánctört formátum végére írj egy vesszővel ellátott X-t, ebből tudja meg a progi, hogy vége a láncnak.

A logika szerint minden lánctört véges vagy végtelen. Így nem marad más, mint hogy az irracionális számok pontosan a végtelen lánctörtek.
Persze felmerül a kérdés: hogyan lehet meghatározni egy végtelen lánctört értékét? Nos, igazából egyetlen használható módszerünk van. Mindig eggyel több jegyű véges lánctörtet számolunk ki (ezeket a fentiek alapján ki tudjuk számolni). Így annyi pontos tizedes jegyét határozhatjuk meg a lánctörtnek, amennyit csak akarunk. (Irracionális szám pontos értékét tizedes formában általában nem tudjuk megadni.)
Tehát ha meg akarjuk mondani az [1,1,1,1,1,...] lánctört közelítő értékét, akkor először határozzuk meg [1]-t, majd [1,1]-t, majd [1,1,1]-t, és így tovább, amennyi pontos tizedes jegyet akarunk. (Használhatod a fenti programot, de ezt a számot érdemes papíron is számolni. Milyen szabályszerűséget veszel észre számolás közben?)
Nos, ez a sorozat több mint érdekes. A kapott értékek: 1 (=1/1), 2 (=2/1), 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, stb.
Írjuk le a nevezőket külön-külön: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, stb.
Nézd csak, ezeket megkaphatjuk mindig úgy, hogy az előző kettőt összeadjuk. Ez a sorozat a Fibonacci-sorozat.
A legérdekesebb az, hogy a sorozat szomszédos elemeinek hányadosai (amik a végtelen lánctört számításakor előjöttek) egy szintén híres számhoz kerülnek egyre közelebb, és ez az aranymetszés száma: (1+sqrt(5))/2 = 1,618033989....
Most próbáljuk ki a lehető legtöbb jegyet beírni a lánctörtbe (13 egyes még elfér, de ha akarsz többet is írhatsz): [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] = 377/233 = 1.6180257510729614. Jól látható, hogy ennek a számnak már az első 4 tizedesjegye megegyezik az aranymetszéssel.

Összefoglalva a fentieket elmondhatjuk, hogy a valós számoknak találtunk egy újabb formáját. Racionálisnak nevezzük pontosan azt a számot, amely felírható

Ugyanígy áttekinthetjük az irracionális számokat is. Irracionális pontosan az a szám, ami Házi feladat: Közelíts nevezetes irracionális számokat lánctörttel! (Pl. PI = 3,141592654...; sqrt(2) = 1,414213562...; e = 2,718281828...)

Az oldalon levők szorosan kapcsolódnak a Stern-Brocot fához.
Ha téged érdekelnek a fentiek, akkor ajánlom figyelmedbe ezeket a lapokat is!
Kattints ide, ha minden érdekel!

Trembeczki Csaba
2006