Induljunk ki két "számból", a 0/1 és 1/0 "törtekből". Természetesen az 1/0-t nem tekintjük igai törtnek, de ez minket most ne zavarjon. Adjuk össze a számlálóikat és nevezőiket, így a 0+1 = 1, 1+0 = 1 számokhoz jutunk. Képezzük belőlük az 1/1 törtet, majd folytassuk ezt a műveletsort most már a 0/1 és 1/1, illetve 1/1 és 1/0 értékekkel!
Így jutunk a 0+1 = 1, 1+1 = 2 értékekhez és belőlük az 1/2 törthöz. A másik kettőből pedig a 2/1-hez, hiszen 1+1 = 2 és 1+0 = 1.
Megfigyelhető, hogy a kapott tört (mediáns) mindig az őt előállító ősei közé esik. (Az 1/0-t értelmezhetjük pozitív végtelennek.)
Világosabb lesz, ha a fentieket ábrázoljuk egy bináris fában úgy, hogy a keletkező törtet mindig a két őse közé írjuk, de egy sorral lejjebb. Valahogy így:
Itt például a 3/5 ősei az 1/2 és a 2/3 (3 = 1+2 és 5 = 2+3). A fáról bebizonyítható sok összefüggés:
Minket ezek most nem érdekelnek, csak arra koncentrálunk, hogyan lehet azonosítani egy törtet a fában. Hál' égnek egyszerűen: legyen az 1/1 a kezdőlépés, jelöljük K-val. Utána vagy jobbra (J), vagy balra lépünk (B). Ha többször lépünk ugyanabba az irányba, akkor azt hatványokkal fogjuk jelölni, pl. három balra lépést B3 mutat. Állapodjunk meg még abban is, hogy a kezdőlépés után mindig a jobbra lépéseket számoljuk először. Ha pedig balra kezdünk, akkor J0-t írunk, valahogy így: 2/5 = KJ0B2J1. Az így kapott jelsorozatot nevezzük SB-sorozatnak.
A kapott sorozatok azért roppant érdekesek, mert a bennük megjelenő kitevők rendre megegyeznek a törtek lánctört felírásával.
Az alábbi kis appletekkel kipróbálhatjuk, hogyan alakulnak át a törtek SB-sorozatokká és a sorozatok vissza törtekké. Mindenkinek jó szórakozást!
Házi feladat. Miért érdekesek az előre megadott adatok?
Készítsünk SB-sorozatból törtet!
Itt csak a J-B lépésekre írt kitevőket kell megadni. Ne feledd, hogy a sorozat mindig J-vel kezdődik!
Trembeczki Csaba
2008