Binomiális eloszlás

(visszatevéses mintavétel)
Paraméterei: n, p

Leírása:
Adott valószínűségi kísérlet egy eseménye A, aminek valószínűsége legyen P(A) = p. Ekkor A komplementerének valószínűsége 1-p. A kísérletet végezzük el n-szer és számoljuk meg, hány esetben következett be A. Így az ezt mutató valószínűségi változó lehetséges értékei X = 0,1,2,...,n. Eloszlása, várható értéke és szórásnégyzete:

A valószínűség magyarázata:
Van n kísérlet, amiből k-szor következik be a p valószínűségű A esemény. Azaz k helyre p valószínűséggel kerül A, n-k helyre pedig 1-p valószínűséggel A komplementere. Feltételezve a kísérletek függetlenségét: pk(1-p)n-k. Már csak azt kell kitalálnunk, hova kerüljön A, azaz hányféleképp választhatunk ki n kísérletből k darabot: ez n elem k tagú ismétlés nélküli kombinációinak száma, "n alatt k". Ezek szorzata adja a keresett valószínűségeket k = 0,1,2,…,n-re.

Kapcsolata más eloszlásokkal:
1. Általánosítása a polinomiális eloszlás.
2. Határesete a Poisson eloszlás (n tart pozitív végtelenhez, p tart 0-hoz, np állandó).

Megjegyzés.
A minőségellenőrző visszatevéses mintavételek mindig binomiális eloszlásra vezetnek. Legyen az alapsokaság elemszáma N, legyen benne M megjelölt termék és vegyünk egy n darabos mintát visszatevéssel. Ekkor A: "megjelöltet emeltem ki a mintából" esemény valószínűsége P(A) = p = M/N. A valószínűségi változó azt mutatja, hogy a kiválasztott mintában X=0,1,2,…,n darab megjelöltet találtunk.

Példa:
Egy 32 fős osztályról tudjuk, hogy 24-en folyamatosan készülnek történelemből. Ha a történelemtanár egy hónap alatt 10 főt feleltet, várhatóan hány szép feleletet fog hallani ebben a hónapban? (Természetesen egy tanuló többször is felelhet a hónap során.)

Megoldás.
A valószínűségi kísérlet a feleltetés. Az A esemény: "a felelő tudja a történelmet". Ekkor: N=32, M=24, n=10. Az A valószínűsége P(A) = p = 24/32 = 0,75. A komplementer esemény - a felelő nem tudja a történelmet - valószínűsége 1-p = 0,25. A valószínűségi változó lehetséges értékei azt mutatják, hogy a 10 feleletből mennyi volt jó: X = 0,1,2,…,10. Ekkor M(X) = np = 10*0,75 = 7,5, valamint D2(X) = 10*0,75*0,25 = 1,875, D(X) ~ 1,37. "Várhatóan" a jó feleletek száma M(X) - D(X) ~ 6,13 és M(X) + D(X) ~ 8,87 közé esik, azaz a 10-ből 6,7,8,9 lesz ötös.

A binomiális eloszlás megjelenítése (n,p) paraméterekkel

vissza

Kaposvár, 2005. január
T.Cs.