Negatív binomiális eloszlás

Paraméterei: n, p

Leírása:
Adott valószínűségi kísérlet A eseményének valószínűsége legyen p, komplementerének valószínűsége így 1-p. A kísérletsorozatot most addig végezzük, amíg A esemény n-szer be nem következik. A valószínűségi változó azt jelöli, hogy A (n+k)-adik esetben következett be n-edszer. X = n, n+1, n+2, … Eloszlása, várható értéke és szórásnégyzete:

A valószínűség magyarázata:
Az első (n+k-1) kísérletben n-1-szer következett be a p valószínűségű A, k-szor az 1-p valószínűségű komplementer esemény. Ez egy binomiális eloszlás. Az utolsó esemény az n-edik A, p valószínűséggel. Így végül összesen n-szer szerepel A esemény az n+k kísérletből.

Kapcsolata más eloszlásokkal:
A geometriai eloszlás általánosítása, n=1-re kapjuk vissza a geometriait.

Megjegyzés.
-

Példa:
Dobókockával addig dobunk, míg 4-szer nem jön ki hatos. Várhatóan hányadikra sikerül a negyedik hatos dobás?

Megoldás.
A valószínűségi kísérlet a kockadobás, az A esemény a "hatos dobás", P(A) = p = 1/6. Az ellentett esemény valószínűsége 1-p = 5/6. A valószínűségi változó azt jelöli, hogy hányadikra lesz a negyedik 6-os. Ekkor M(X) = 4/(1/6) = 24, D²(X) = 4*(1-1/6)/(1/36) = 120, amiből D(X) ~ 10,954. Így a valószínűségi változó M(X) -D(X) ~ 13,046 és M(X) + D(X) ~ 34,954 értékek közé "várhatók". Azaz 13,14,…,35 között érkezhet a negyedik hatos dobás.

A negatív binomiális eloszlás megjelenítése (n, p) paraméterrel

vissza

Kaposvár, 2005. január
T.Cs.