Mint említettem, a Poisson-eloszlás a binomiális-eloszlás határesete akkor, ha n nagy szám, p 0-hoz közeli, k pedig viszonylag kicsi érték. Itt azt nézzük meg, miért.

A levezetéshez alkalmazni fogjuk a Stirling-formulát, méghozzá annak is egy "lebutított" változatát. (Ha n tart a végtelenbe, akkor az első utáni tényezők gyakorlatilag elhanyagolhatók.)

Először a könnyebb követhetőség szempontjából sorról sorra átnézzük, mikor milyen átalakítás történik.

1. A binomiális eloszlásból indulunk ki.
2. Most jön a Stirling-formula n!-ra és (n-k)!-ra, hiszen feltettük, hogy k viszonylag kis szám, így nemcsak n, hanem (n-k) is nagy.
3. Ebben a sorban törttel osztunk, majd egyszerűsítünk eⁿ-nel. A folytatásban jön egy trükk, nⁿ-t felbontjuk n^n-k és n^k szorzatára, majd észrevesszük, hogy több kifejezés kitevője is (n-k).
4. A zárójelben a fenti trükköt még egyszer eljátszuk.
5. Most újabb trükköt alkalmazunk. Feltűnhet, hogy az (np) kifejezés kétszer is szerepel. Sőt, említettük, hogy n nagy, p kicsi szám. A zárójelre koncentrálva észrevehetjük, hogy a benne szereplők nagyon hasonlítanak [1+(a/n)]ⁿ-re, ami tart e^a-hoz. Csakhogy: itt "a" konstans, azonban (k-np)-ben "n" változó. És akkor a trükk: követeljük meg, hogy np = (lambda) állandó legyen. Így már minden oké, alkalmazzuk az említett összefüggést.
6. Ezt kerestük.

Ne feledjük, hogy np szorzatot állandónak tekintettük a levezetés során.

Kaposvár, 2005. január
T.Cs.