Polinomiális eloszlás

Paraméterei: n, p₁, p₂, ..., p_t

Leírása:
Többdimenziós eloszlás. Adott valószínűségi kísérlet A₁, A₂, ..., A_t eseményei (részhalmazai U eseménytérnek) alkossanak teljes eseményrendszert, a hozzájuk tartozó valószínűségek rendre P(A_i) = p_i, összegük 1. Végezzük el n-szer a kísérletet, X t-dimenziós valószínűségi változó koordinátái pedig jelöljék, hogy n-ből hányszor következett be A₁, hányszor következett be A₂, …, hányszor következett be A_t esemény. Így X = (k₁,k₂,...,k_t) vektor, ahol k₁+k₂+...+k_t = n . A valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma (U elemszáma) "n+k-1 alatt k". Eloszlása:

A valószínűség magyarázata:
Hasonlóan a binomiálishoz, csak több eseményre. A keresett k_i számban veszünk p_i valószínűségű A_i eseményt, majd összeszámoljuk, hányféleképpen helyezhetjük el őket k_i-szer az n helyen. A lehetséges elhelyezkedéseik összeszámlálásához a t típusú n elem k₁, k₂, ..., k_t tagú ismétléses permutációit írtuk fel.

Kapcsolata más eloszlásokkal:
A binomiális eloszlás általánosítása. (Lásd még hipergeometrikus és polihipergeometrikus eloszlás kapcsolata.)

Megjegyzés.
A polinomiális eloszlás a binomiális eloszlás általánosítása, t = 2 esetén kapjuk vissza a binomiális eloszlást. A binomiális eloszlás 2-dimenziós. Azért nem látjuk ott mind a két változót, mert A esemény (és p valószínűsége) egyértelműen meghatározza A komplementerét (1-p valószínűséggel), ezért felesleges jelölni. Ugyanez érvényes a polinomiális esetre is: az első t-1 esemény valószínűségéből már adódik az utolsó p_t valószínűsége és k_t értéke (azonban itt mindegyiket feltüntetjük a változóban is).

Példa:
Egy szerepjátékban 10 oldalú kockával dobunk, hogy megküzdjünk ellenfelünkkel. Ha 1,2,3-t dobunk, győzünk, 4,5,6,7,8,9-re a harcban mindketten kifáradunk és visszavonulunk, 10-re az ellenfél győz le minket. Ha négyszer harcolunk az ellenfelekkel, mekkora a valószínűsége, hogy egyszer győzünk és három visszavonulásunk lesz?

Megoldás.
A valószínűségi kísérlet az ellenféllel való csata. Az események a feladat alapján a következők: A₁ = {győztünk}, A₂ = {döntetlen}, A₃ = {vesztettünk}, azaz t = 3. A hozzájuk tartozó valószínűségek pedig: P(A₁) = p₁ = 0,3; P(A₂) =p₂ = 0,6; P(A₃) = p₃ = 0,1. A kísérletet n = 4-szer végezzük el, ebből X₁ = 1 győzelem, X₂ = 3 döntetlen és X₃ = 0 vereség. A keresett valószínűség behelyettesítve: P(X₁ = 1, X₂ = 3, X₃ = 0) = 4!/(1!3!0!) 0,3¹ 0,6³ 0,1⁰ = 0,2592.

Megjegyzés.
Az összes lehetőség száma "4+3-1 alatt 4" = 15. Ennyi valószínűséget kellene kiszámolni az eloszlás felírásához. Ezek közül a feladatban kérdezettnek van a legnagyobb valószínűsége. Ahogy a kétváltozós eloszlást ábrázolhatjuk síkbeli koordinátarendszerben (oszlopdiagrammal), úgy a háromváltozóshoz használhatunk térbeli rendszert. Még több változójú feladatot azonban már nehezen tudunk "vizualizálni".

vissza

Kaposvár, 2005. január
T.Cs.