A statisztikus fizika néhány nevezetes eloszlása

A statisztikus fizikában a részecskéket modellezhetjük golyókkal, azt pedig, hogy melyik energiaállapotban vannak, dobozokkal. A kérdések így oda vezetnek, hogy t számú dobozba (energiaállapotok száma) bizonyos feltételek mellett hányféleképpen helyezhetünk el n golyót (részecskék száma). Természetesen adódik két feltétel: egyik, hogy minden esetben egy golyó csak egy dobozba kerülhet. A másik, hogy minden golyó ugyanakkora valószínűséggel kerülhet bármelyik dobozba.

Bose-Einstein eloszlás

Paraméterei: n, t

Leírása:
Van n egyforma golyónk és t dobozunk. Bármennyi (összesen n) golyó kerülhet bármelyik dobozba. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az első dobozba n1, a másodikba n2, …, a t.-be nt golyó kerül (ni nemnegatív egész):

Fizikai alkalmazása:
A Bose-Einstein statisztikát fotonokra, bozonokra alkalmazzák.

A valószínűség magyarázata:
Klasszikus valószínűséget használunk. Az összes esetekhez képzeletben rakjuk sorba az n golyót (nem teszünk köztük különbséget). A dobozokat ekkor úgy képzelhetjük el, mint a sorba rakott golyókat szétválasztó falakat: mindenképpen van egy fal az első golyó előtt és az utolsó után. Ahhoz, hogy t dobozt kijelöljünk, ezeken kívül még t-1 falra van szükség. (Ha például két fal közvetlenül egymás mellett van, akkor az adott doboz üres.) Így összesen n + t - 1 helyet kell egymás mellé elképzelnünk, mindegyik lehet fal és golyó is. Ezekből kell kiválasztanunk vagy az n golyót, vagy ami ugyanaz, a t-1 falat. Azaz az összes eset "n+t-1 alatt n". A kedvező esetek száma pedig 1, hiszen ha bármelyik falat golyóra cseréljük, másik esetet kapunk.

Megjegyzés.


Példa:
Egy cégnél a leendő 10 új munkatársnak mobiltelefonokat vásárolnak, összesen négyféle típusból. Mekkora valószínűséggel fog majd 3 dolgozó az első, 2-2 dolgozó a második és harmadik, 4 dolgozó a negyedik típusból kapni, ha véletlenszerűen kerülnek kiosztásra? (A pályázati kiírások még csak most kerülnek az újságba.)

Megoldás.
Mivel még nem ismertek, a 10 munkatárs konkrét személye nem érdekes (a golyókat nem különböztetjük meg). A mobilok 4 típusát tekintjük dobozoknak. Alkalmazzuk a Bose-Einstein statisztikát! Tulajdonképpen lényegtelen, hogy melyik típusból mennyien kapnak, az eredmény minden esetben p = 1/(13 4) = 4!9!/13! = 0,0014.

vissza

Kaposvár, 2005. január
T.Cs.