A statisztikus fizika néhány nevezetes eloszlása

A statisztikus fizikában a részecskéket modellezhetjük golyókkal, azt pedig, hogy melyik energiaállapotban vannak, dobozokkal. A kérdések így oda vezetnek, hogy t számú dobozba (energiaállapotok száma) bizonyos feltételek mellett hányféleképpen helyezhetünk el n golyót (részecskék száma). Természetesen adódik két feltétel: egyik, hogy minden esetben egy golyó csak egy dobozba kerülhet. A másik, hogy minden golyó ugyanakkora valószínűséggel kerülhet bármelyik dobozba.

Fermi-Dirac eloszlás

Paraméterei: n, t

Leírása:
Van n darab egyforma golyónk és t dobozunk. Osszuk szét úgy a golyókat, hogy egy dobozba legfeljebb egy golyó kerülhet (azaz t > n-1). Ekkor annak a valószínűsége, hogy az első dobozba n₁, a másodikba n₂, …, a t.-be n_t golyó kerül (n_i csak 0 vagy 1 lehet!):

Fizikai alkalmazása:
A Fermi-Dirac statisztikát fermionokra alkalmazzák.

A valószínűség magyarázata:
A kedvező eseteket kell osztanunk az összes esetek számával. Most a t dobozt képzeljük el sorban egymás mellett. Mivel egy dobozba csak egy golyó kerülhet, ezért a t dobozból kell kiválasztanunk azt az n darabot, amibe golyó kerül. Ezt éppen "t alatt n" féleképpen tehetjük meg. A kedvező esetek száma ismét 1, hiszen amennyiben bármit megváltoztatunk, már másik esethez jutunk.

Megjegyzés.

Az összes esetek száma t elem n tagú ismétlés nélküli kombinációinak számával egyenlő.
Mivel a golyókat nem különböztetjük meg, a kapott érték független n_i értékétől! Ez egyben azt is jelenti, hogy bármely két eset valószínűsége egyenlő. (Lásd Bose-Einstein statisztika.)

Példa:
Pénztárosként egy kisrepülőgépen 15 helyre 13 jegyet adunk el. A kávészünetben azon morfondírozunk, vajon mekkora valószínűséggel nem ül két ablak mellett utas? (A jegyeket véletlenszerűen adtuk ki.)

Megoldás.
Az utasok kilétével nem foglalkozunk (a golyókat nem különböztetjük meg) és nyilván egy helyre egy személy ülhet csak (egy dobozba egy golyó kerülhet). Használjuk a Fermi-Dirac eloszlást! A megjegyzés alapján teljesen mindegy, hogy melyik helyeket nem adták el, a lényeg hogy 15 helyből kell kiválasztanunk az eladott 13-at. Az eredmény: p = 1/(15 13) = 13!2!/15! = 0,00952.

vissza

Kaposvár, 2005. január
T.Cs.