Terület

ABC egyenlõtlen oldalú háromszög. AX, BY és CZ az ABCΔ magasságai. Figyeld meg, mint az euklideszi geometriában, a három magasság egy pontban metszik egymást. (Biztosan mindig teljesül ez?) Mérjük meg az adatait ennek a konkrét háromszögnek:

AB oldal hossza 3.3, magassága CZ = 1.1
BC oldal hossza 3.0, magassága AX = 1.9
AC oldal hossza 2.1, magassága BY = 2.5
AXBÐ = AXCÐ = 90°
BYAÐ = BYCÐ = 90°
CZAÐ = CZBÐ = 90°

6.2 T=a²
Az euklideszi geometria azt mondja, hogy ha egy négyzet oldala 1 egység hosszú, akkor területe 1 egységnégyzet. A hiperbolikus geometriában téglalapok (négyszögek, amik 4 derékszöggel rendelkeznek) nem léteznek, így négyzetek sem (amik egyenlõ oldalú téglalapok lennének). A hiperbolikus geometriában, ha egy négyszög három derékszöggel rendelkezik, akkor a negyedik szögnek hegyesszögnek kell lennie (lásd 6.2a ábrát).

6.2a ábra: Négyszög 3 derék- és 1 hegyesszöggel.

A szabályos négyszögnek négy egyenlõ oldala és négy egyenlõ szöge van. A négyzet egy speciális szabályos négyszög, amiben mind a négy szög derékszög. Az euklideszi geometriában minden szabályos négyszög négyzet. A hiperbolikus geometriában szabályos négyszögek léteznek, de minden szögük hegyesszög. A hiperbolikus szabályos négyszögek nem használhatók a terület alapegységeként, mint a négyzetek az euklideszi geometriában. Ennek egyik oka, hogy nem tudjuk egymás mellé rakni õket anélkül, hogy valamennyi hely ki ne maradna. A 6.2b ábra azt mutatja, hogy 9 darab 1x1-es euklideszi négyzetbõl kirakható egy 3x3-as négyzet. A 6.2c ábra 5 darab, 1x1-es hiperbolikus szabályos négyszöget mutat - figyeld meg a kimaradó helyet a jobb felsõ sarokban.

6.2 ábra: Egybevágó, szabályos négyszögek (b) az euklideszi, (c) a hiperbolikus geometriában.

6.3 Háromszög defektusa
Ahogy korábban láttuk, a hiperbolikus háromszög szögeinek összege mindig kisebb, mint 180°. A különbséget (180° mínusz a szögösszeg) a háromszög defektusának hívjuk. Ha készítünk néhány hiperbolikus háromszöget és megmérjük ezt a különbséget, látjuk, kis háromszögekre a defektus is kisebb (a szögösszeg majdnem 180°). Valóban, ahogy a háromszög átmérõje zérushoz tart, a szögek összege közelít 180°-hoz. Ez egybecseng azzal a gondolattal, hogy a hiperbolikus sík viszonylag kis darabkája úgy viselkedik, mintha euklideszi lenne. Ellenkezõleg, nagy háromszögnek a defektusa is nagy. Ha a háromszög oldalainak hossza a végtelenbe tart, a szögek mindegyike 0°-ot közelíti, azaz a defektus 180°-hoz tart.

Mielõtt folytatnád, készíts néhány háromszöget a NonEuclid-del. Használd a "Méretek" menü "Háromszög adatai" pontját: így minden szög nagyságát és minden oldal hosszát megjelenítjük. Vagy vegyél fel egy háromszöget, jelenítsd meg a méreteit és a "Szerkesztés" menüben a "Pont mozgatása" segítségével mozgasd a csúcsait. Fontos "érezni", hogyan lesz a nagy háromszög defektusa is nagy.

Nagyobb háromszög, nagyobb defektus - de ennél több is teljesül: a területhez hasonlóan, a defektus is összeadódik (additív). Az egész egyenlõ a részek összegével. Például a 6.3 ábrán látható BAM háromszög defektusa 77,4°, a CAM háromszögé 43,7°, míg az ABC háromszög defektusa 121,1° (77,4° + 43,7° = 121,1°). Ez minden háromszögre teljesül a hiperbolikus geometriában - függetlenül attól, hogyan vágod fel õket kisebb háromszögekre. Használd a NonEuclid-t, nézz meg erre is néhány példát!

6.3 ábra: A defektus additivitása

6.4 Sokszög defektusa
Bármely sokszög felbontható véges sok egymásra nem nyúló háromszögre. A 6.4 ábra két különbözõ módot mutat egy sokszög felbontására.

Sokszög defektusát úgy definiáljuk, mint az õt alkotó háromszögek defektusainak összegét. Hogy bármely sokszög végtelen sokféleképp bontható háromszögekre? (Helyhiány miatt csak kétfélét mutattunk be.) Akárhogy is végezzük a felbontást, az összeg csak az eredeti négyszögünktõl függ, a felbontás módjától nem. Készíts néhány példát és mérd meg õket!

6.5 A defektust nem változtatja meg az eltolás
Már megfigyeltük, amikor a középpontból a határkörhöz közeledik egy alakzat, összelapul és összezsugorodik. Bármit is használunk a terület meghatározására, az eredménynek állandónak kell lennie, habár az alakzatot mozgatjuk egyik helyrõl a másikra. Igaz, hogy az alakzat kisebbnek és laposabbnak tûnik, ám az oldalak és szögek mérete változatlan a mozgatás során. Viszont a defektus is változatlan marad mozgatáskor (mivel azt csak a szögekbõl számítjuk).

6.6 A területfüggvény szükséges tulajdonságai
Összefoglalva, egy területfüggvénynek rendelkeznie kell a következõ tulajdonságokkal [Moise-74]:

• Tf-1: Bármely sokszögnek létezik területe.
• Tf-2: Minden sokszög területe egy nullánál nagyobb valós szám.
• Tf-3: Ha két háromszög egybevágó, területük is egyenlõ.
• Tf-4: Ha két sokszögnek legfeljebb csúcsokban és oldalakban van közös része, akkor uniójuk területe területeik összege.

Nem mindegy, hogyan választjuk k-t: ez kapcsolja össze a hosszúságegységet a területegységgel.
 

6.7 A terület felsõ határa
Egy érdekes következménye a T = kd képletnek, hogy a háromszögek területének van felsõ határa. Mivel a háromszög defektusa nem lehet 180°-nál nagyobb, a terület sem nõhet k*180 fölé. Vajon a sokszögek területe is maximált? Valahogy így érvelhetne, aki ezt állítaná: tegyük fel, hogy létrehoztál egy sokszöget, aminek a defektusa 200°. Majd vegyél egy háromszöget, ami tartalmazza a sokszöget. A háromszög defektusa egyenlõ részei defektusainak összegével, ezért a háromszög defektusa több, mint 200° - de ez lehetetlen. Ebbõl adódóan lehetetlen, hogy egy sokszög defektusa 200° legyen. Ez azonban nem bizonyítás, mert tartalmaz egy hamis elõfeltételt - mi az?