Axiómák és tételek

Az egész euklideszi geometriát (tételek ezreit) csak néhány különbözõ építõelembõl rakták össze. Ezeket hívjuk "Euklidesz öt axiómájának":

• E-1: Bármely két ponton át pontosan egy egyenes fektethetõ.
• E-2: Bármelyik szakasz bármelyik irányba végtelenül meghosszabbítható.
• E-3: Bármely középponttal és bármekkora sugárral kör rajzolható. (Ebbõl adódik, hogy nincs sem felsõ, sem alsó határa a távolságoknak. Másképp fogalmazva, bármilyen nagy távolságnál van nagyobb és bármilyen kicsi, de 0-nál nagyobb távolságnál van kisebb.)
• E-4: Ha két egyenes úgy metszi egymást, hogy az egymást melletti szögek egyenlõk, akkor ezen szögek bármelyike egyenlõ minden más szöggel, amit ugyanígy hozunk létre. (Bármely két derékszög egyenlõ.)
• E-5: Ha adott egy egyenes és egy rajta kívüli pont, akkor egy és csak egy, a ponton átmenõ egyenes létezik, amelyik párhuzamos az adott egyenessel. (Ez a párhuzamossági axióma.)

A fenti axiómákhoz hozzávéve, az euklideszi geometria alapjait alkotják még gondolkodásunk általános szabályai, azaz a logika elemei, amiket szintén felsorol Euklidesz az "Elemek"-ben:

• L-1: Dolgok, amik egy harmadikkal egyenlõk, egymással is egyenlõk.
• L-2: Ha egyenlõkhöz egyenlõket adunk, ismét egyenlõket kapunk.
• L-3: Ha egyenlõkbõl egyenlõket vonunk ki, ismét egyenlõket kapunk.
• L-4: Dolgok, amik egymással helyettesíthetõk, egyenlõk.
• L-5: Az egész nagyobb a résznél.

Valójában két lehetõség is van Euklidesz ötödik axiómájának tagadására:

• G-5: (a gömbi geometria párhuzamossági axiómája): Ha adott egy egyenes és egy rajta kívüli pont, nincs a ponton áthaladó egyenes, ami párhuzamos lenne az eredeti egyenessel.
• H-5: (hiperbolikus geometria párhuzamossági axiómája): Ha adott egy egyenes és egy rajta kívüli pont, legalább kettõ különbözõ egyenes húzható a ponton át, ami párhuzamos az eredeti egyenessel.

Ha ezekrõl a párhuzamossági axiómákról gondolkodunk, nem szabad elfelejtenünk, a "párhuzamos" nem azt jelenti, hogy: "mint a vasúti sínek". A sík két egyenese "párhuzamos", ha bármeddig is hosszabbítjuk meg õket, nem metszik egymást.

A gömbi geometria párhuzamossági axiómája ellentmond Euklidesz elsõ négy axiómájának. A gömbi geometria "egyenesei" a fõkörök. A gömbi geometria legtöbb A, B pontpárján át egy és csak egy fõkör halad át, viszont ha A és B ellentétes pontok (azaz összekötõ szakaszuk átmegy a gömb középpontján), akkor rajtuk keresztül végtelen sok fõkör rajzolható. Ez ellentmond Euklidesz elsõ axiómájának. Euklidesz második axiómája - "bármelyik szakasz bármelyik irányba végtelenül meghosszabbítható" - sem teljesül. A gömbi geometriában ha egy szakasz végpontjait a szakaszt meghosszabbítva egymástól egyre messzebb visszük, végül egybeesnek.

Lobacsevszkij, Gauss és Bolyai várakozásaival ellentétben, a hiperbolikus geometria párhuzamossági axiómája tökéletes egységet alkot az euklideszi geometria elsõ négy axiómájával. És milyen csodálatos világot nyit meg ez a felfedezés! Bolyai János így írt errõl édesapjának: "… semmibõl egy új, más világot teremtettem."

5.2 A közrefogás és az oldal-szög-oldal axióma
Euklidesz az "Elemek" axiómáihoz és tételeihez hozzávett sok (összesen 35) további alapfeltevést. Egyikük, a közrefogási axióma, valahogy így hangzik: "ha három pont egy egyenesen van, akkor pontosan egy van a másik kettõ között". Egy másik az oldal-szög-oldal axióma.

Az oldal-szög-oldal axióma állítása szerint, ha egy háromszög két oldala és a közéjük zárt szög egyenlõ egy másik háromszög két oldalával és azok közé zárt szöggel, akkor a két háromszög egybevágó.

Az "Elemek"-ben Euklidesz bemutatja, mit gondol õ az oldal-szög-oldal bizonyításának: [Health-56]

Adott:
ABCΔ és DEFΔ, AB = DE, AC = DF, és BACÐ= EDFÐ.

Bizonyítás:

Mozgassuk el ABCΔ úgy, hogy A egybeessen D-vel, AB oldal pedig DE-vel.
B pont egybeesik E-vel, mert AB = DE.
AC szakasz egybeesik DF-fel, mert BACÐ = EDFÐ.
C pont egybeesik F-fel, mert AC = DF.
BC egyenes egybeesik EF egyenessel, mert két egyenes nem zárhat közre területet.
Végül BC = EF, mert a két egyenes és a rajtuk levõ pontok egybeesnek.
Így, ABCÐ = DEFÐ, BCAÐ = EFDÐ és ABCΔ = DEFΔ.

5.3 Bizonyítások a hiperbolikus geometriában
Euklidesz öt axiómája, a logika szabályai, plussz a további meghatározások együtt adják az euklideszi geometria teljes axiomarendszerét. Az egyetlen eltérés a hiperbolikus és az euklideszi geometria axiómarendszere között a párhuzamossági axióma.

Ez egy roppant fontos állítás. Ugyanis minden olyan tétel, aminek bizonyításában nem használjuk az ötödik axiómát, teljesülni fog a hiperbolikus geometriában is!

Hasonlóképp, ha egy tétel bizonyításában szükség van bármelyik párhuzamossági axiómára, az a tétel nem teljesülhet egyszerre a két geometriai rendszerben. Egy meggyõzõ példa erre az az euklideszi tétel, miszerint a háromszög belsõ szögeinek összege 180°. Az 5.4a ábra segíthet felidézni a bizonyítást - és láthatod, miért nem igaz ez a hiperbolikus geometriában.

5.4a ábra: ABCÐ + BCAÐ + CABÐ = 180° igazolása.

Bármely euklideszi ABC háromszögre létezik egy egyetlen A-n átmenõ, BC-vel párhuzamos egyenes. Ha hozzávesszük, hogy váltószögek (mint párhuzamos szárú szögek) egyenlõk, akkor NABÐ = ABCÐ és MACÐ = ACBÐ. Habár a hiperbolikus geometriában végtelen sok BC-vel párhuzamos, A-n átmenõ egyenes létezik, mégsincs olyan egyenes, amire egyszerre teljesül, hogy NABÐ = ABCÐ és MACÐ = ACBÐ.