A tér alakja

1. Az anyag és energia eltorzítja a teret, valamint
2. A tér torzulásai befolyásolják az anyag és energia mozgását.

Vannak, akik az idõt tekintik negyedik dimenziónak. Ez, bizonyos értelemben igaz. Bár az idõ nem jelenti az elõbb emlegetett "különbözõ irányt". Ha az idõt is dimenziónak tekintjük, akkor azt kell mondanunk, hogy egy négydimenziós téridõben élünk, ami az ötödik dimenzióba görbül! Most akkor hol is van az ötödik dimenzió?

2.2 Flatland (Síkország)
A négydimenziós teret nagyon nehéz megjeleníteni. 1884-ben egy viktoriánus iskolamester, Edwin Abbott, kiadott egy könyvet egy elképzelt kétdimenziós világról, amit Flatland-nek (Síkországnak) hívott. Síkországot olyan élõlények lakják, akik csak csúszni tudnak. Úgy képzelhetjük el õket, mint pénzérméket az asztalon. Másképp, gondolhatunk rájuk, mint színes mintákra egy kifeszített szappanhártyán. A történet középpontjában Síkország leghíresebb polgárának, Négyzetnek kalandjai állnak, és az õ útja a harmadik dimenzió megértéséig. Ha világossá válik számunkra, hogy Négyzetnek miért okoz nehézséget megérteni a harmadik dimenziót, könnyebben megértjük saját problémánkat a negyedik dimenzióval. A történet elején Négyzet és felesége bezárkóznak kényelmes és biztonságos otthonukba, amikor hirtelen a semmibõl egy hang szól hozzájuk. Egy pillanat múlva egy kör tûnik fel teljesen zárt házuk falain belül. Ez Gömb, aki azért jött, hogy a negyedik dimenzióról tanítsa Négyzetet:

"Nem sík alakzat vagyok, hanem térbeli test. Te körnek nevezel, de a valóságban nem egy kör vagyok: végtelen sok különbözõ méretû kör, a ponttól egészen a 33 centiméter átmérõjû körig, egyik a másik tetejére rakva. Amikor átutazok a síkodon, mint ahogy most is teszem, egy metszetet hozok létre a síkkal, amit te, nagyon helyesen, körnek nevezel. Egy Gömb - ez az én valódi nevem a saját országomban - ha egyszer megmutatja magát Síkországban, csak úgy jelenhet meg, mint egy kör." [Abbott-1884]

2.3 Saját világunk
A világunkra jellemzõ negyedik dimenzióba történõ kidudorodás három különbözõ méretarányban történik: kis léptékû görbületet eredményez minden elemi részecske. Közepes léptékû görbület társul a csillagok gravitációs hatásához, fekete lyukakhoz és galaxisokhoz. A nagy léptékû görbület a tér mindenre kiterjedõ alakja, amit a térben levõ összes anyag és energia együttesen eredményez. Hogy tisztán lásd, mit jelent a "különbözõ lépték", gondold át a következõket: nagy léptékben a Föld alakja gömbbé görbül, ami az egyenlítõn kicsit kidudorodik. Középsõ, emberi méretekben a Föld felszínét dombok és völgyek tarkítják. Kis léptékben, a Föld felszíne különálló göröngyökre és sziklákra esik szét.

Nagy léptékben a tér legnagyobb részének van egy sajátos görbülete, amit hiperbolikus térnek hívunk. A hiperbolikus térnek megvan a saját geometriája - ezt nevezzük hiperbolikus geometriának -, ami jónéhány hasonlóságot mutat az általunk használt euklideszi geometriával, de vannak köztük alapvetõ eltérések is. Egy bizonyos értelemben gondolhatunk az euklideszi geometriára úgy, mint a hiperbolikus geometria egy részére, mivel a hiperbolikus tér egy kis darabja kis görbülettel rendelkezik és így gyakorlatilag euklideszinek tekinthetõ. Ebbõl kifolyólag az euklideszi geometria összes tétele igaznak tûnik a hiperbolikus tér egy kis darabján.
 

2.4  A Merkúr pályája
A Föld - Nap távolság jóval kisebb, mintsem hogy legérzékenyebb mûszereinkkel bármiféle, a tér nagy léptékû görbülete által okozott különbséget mutassunk ki, döntve az euklideszi és a hiperbolikus geometria között. Viszont a Napunk okoz valamekkora közepes léptékû görbületet, amit - köszönhetõen a Merkúrnak - mérni is tudunk. A Merkúr a legközelebbi bolygó a Naphoz. Jóval erõsebb gravitációs mezõben van, mint a Föld, így a tér is érezhetõen jobban görbül a környezetében. A Merkúr hozzánk is elég közel van, hogy teleszkópjainkkal pontosan megmérhessük mozgását. A Merkúr Nap körüli pályája valamivel pontosabban megjósolható, ha a hiperbolikus geometriát használjuk az euklideszi helyett.