Előzmények

Az 1997/98-as tanév első félévében került sor a tanítási gyakorlatra, a szegedi Ságvári Endre Gimnázium 11. évfolyamának speciális matematika tagozatán. Az osztályt tanító tanárok, Kovács István és dr. Dobi János nem zárkóztak el az ötlet elől, hogy próbáljunk meg geometriát tanítani a komplex számok segítségével. Ekkor még a komplex számok nem kerültek tárgyalásra az osztályban, így azok bevezetésére is szükség volt. Ezt Kardos Gyula tette meg. A bevezetés algebrai úton történt, a történeti háttér bemutatásán keresztül (Cardano, Bombelli gondolatmeneteinek megismertetésével). A geometriai vizsgálódásokra csak azután kerülhetett sor, hogy a komplex számok fogalma, a velük végzett műveletek tiszták és világosak voltak a diákok számára. (Ez adhat magyarázatot a 3. fejezet címére: Feltételezett előismeretek áttekintése. Itt semmi mást nem teszünk, csupán felsoroljuk azon ismereteket, melyek feltétlenül szükségesek a geometriai részhez.)

A tananyag

Nem térnék ki részletesen a tanítási gyakorlaton tárgyalt tananyagra, mivel nem ez képezi a dolgozat fő részét, de pár szóban meg kell említenem. Az elméleti anyag a következő volt:

1. Bevezetésként azon elmélkedtünk, vajon hányféleképpen jelölhetünk ki egy pontot a síkon. A válaszok: egy helyvektorral, egy számpárral (Descartes-féle koordináta-rendszerben), egy szám-szög párral (polár koordinátarendszerben), egy pont kijelölésével az euklideszi síkon és végül egy komplex szám kijelölésével a Gauss-féle számsíkon. Ez tulajdonképpen olyan, mintha különböző nyelveken mondanánk el ugyanazt a gondolatot. Akkor miért ne használhatnánk egy időre a komplex számok nyelvezetét a geometria órákon?
   
2. Ezután áttekintettük a komplex számok eddig megismert műveleteinek geometriai jelentéseit. Nagyjából ez szerepel a dolgozat II.1. fejezetében. (Érdekes volt, hogy aránylag sokat bajlódtunk a konjugált komplex szám fogalmával. A későbbiekben is előfordult, hogy meg kellett állni és elővenni a konjugálás szemléletes jelentését, újra meg újra átgondolni a fogalmat.)
   
3. Először az egyenesek kerültek górcső alá. (Nem szerepel a dolgozatban.) Megvizsgáltuk, mikor esik három pont egy egyenesbe. Felidéztük az osztóviszony fogalmát, kiterjesztettük a komplex számokra. Kimondtuk: három komplex szám pontosan akkor kollineáris, ha osztóviszonyuk valós. Ezzel elbíbelődtünk pár feladat erejéig.
   
4. Következtek a húrokra vonatkozó összefüggések (szinte tökéletesen megegyezik a II.3. fejezettel), természetesen mindig megfelelő feladatokkal kísérve.
   
5. Rátérhettünk a háromszögben fennálló összefüggések komplex vizsgálatára (lásd a II.4. fejezetet).
   
6. Közben folyamatosan oldottuk meg a feladatokat. Ezek kapcsán előkerültek a II.2. fejezet ismeretei is, persze nem feltétlenül az ottani sorrendben.
   

Meg kell jegyeznem, hogy a folyamatos haladás érdekében két alkalommal az addig összegyűlt anyagról kis emlékeztetőt kapott az osztály. Ez a függelékben megtekinthető. Az anyagra összesen kb. 13-14 óra állt rendelkezésre.

Tapasztalatok

Elsősorban az derült ki, hogy több időre van szükség a megismert fogalmak megemésztéséhez és megértéséhez. Valószínűleg az volna a legszerencsésebb, ha a komplex számok algebrai bevezetése után fáziskéséssel kerülne sor a további vizsgálódásokra, pl. egy koordinátageometriai rész tárgyalása után.A komplex számokat sokféleképpen be lehet vezetni, azonban az volt az általános vélemény, hogy ez ne geometriai úton történjen meg. Ennek több oka van. Az egyik a történeti hűség lehet, de talán fontosabb a következő: a geometriai bevezetés megfosztaná az algebrát egy nagy fejezetétől. Így viszont az algebra is jól jár és a geometria sem szenved hiányt.Sajnos az iskolai gyakorlat során még nem állt rendelkezésemre a feladatanyag, amiből ez a dolgozat táplálkozik. Muszáj volt olyan feladatokat is elővenni, amik megoldása szinte szóról szóra megegyezik a vektoros megoldással. Természetesen a diákok nem vették mindig kitörő boldogsággal az ilyen feladatokat. Így érdemes jó előre meggondolni és összeválogatni a feladatanyagot, amihez talán ez a dolgozat is segítséget nyújthat.Úgy gondolom, hogy a komplex megoldásokra jellemző egyfajta egyszerű szépség, ezért a módszer elsajátítása és alkalmazása nem okoz nagy gondot a diákoknak. (A megfelelő ismeretek elsajátítása után persze.) Így a tanári munkának elsősorban a megfelelő előkészítésre és az alapok biztos megteremtésére kell koncentrálnia. A feladatok is elég jellemzőek, könnyen ki lehet választani azokat, amikben nagy valószínűség szerint a módszer alkalmazható. A feladatok jellegéből adódóan ezek gyakran előfordulnak matematikaversenyeken és a KÖMAL hasábjain (a közölt feladatok nagy része is a lapból származik).Ha az előbb egyszerűséget említettem, meg kell említenem a bonyolultságot is. A feladatokban ugyanis nem túl nehéz összefüggéseket használunk, de a felírt egyenletek néha hosszú számolásokhoz vezetnek, amikben a hibalehetőség a többszörösére nőhet. Érdemes ezt is figyelembe venni. (Viszont pontos munkára lehet vele szoktatni a diákokat, ha hajlandók végigcsinálni.) Utoljára hagytam az általam leginkább fontosnak tartott dolgot. A komplex módszer rengeteg általánosításra ad lehetőséget, pontosan a kissé mechanikus volta miatt. Mivel a megoldás kitalálása nem vonja el a figyelmet a feladatról, a diákoknak könnyebb észrevenni, a tanárnak könnyebb bemutatni és végigvinni az általánosítás gondolatát. Erre mindenképpen oda kell figyelni, be kell mutatni, nemcsak felvillantani egy-két röpke feladaton keresztül. Ugyanis éppen ez az a pont, ahol a komplex számok túllépik saját kereteiket és nem egyszerű feladatmegoldásra, hanem gondolkodásra nevelhetnek. Ez talán a módszer legfontosabb alkalmazási területe.

A dolgozat elkészülte előtt pár nappal jutott tudomásomra, hogy a Ságvári Endre Gimnázium helyi tantervében a speciális matematika tantervű osztályok tananyagába külön fejezetként, 15 órával bekerült a geometriai problémák komplex módszerekkel való megoldása, azaz jelen témánk is.

Ezen gondolatok után térjünk át a konkrét matematikai tartalomra.