Néhány bevett jelöléstől el kellett sajnos tekinteni a billentyűzet hiányosságai miatt. Ezért z konjugáltját kon(z), z n-edik gyökét gyök_n(z), szögeket w és w' és a "pi" (3,14...) számot pi jelöli.

Tartalom:

1. Alapvető fogalmak
   1. kanonikus és trigonometrikus alak
   2. kapcsolódó fogalmak (valós rész, képzetes rész, abszolút érték, argumentum)
   3. műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás)
   4. konjugált
2. Néhány, a fenti fogalmakra épülő összefüggés
   
   1. reciprok (reciprok konjugáltja)
   2. hatványozás és gyökvonás
   3. komplex szám és konjugáltjának szorzata
   4. egység-komplex számok
   5. n-edik egységgyökök (primitív egységgyökök, egységgyökök összege)

Alapvető fogalmak

1. Komplex szám, komplex számhalmaz (C) fogalma.
   Komplex szám kanonikus és trigonometrikus alakja:
   z=a+bi,
   z=r(cosw+isinw).

   Általában a következőkben z₁=a+bi=r(cosw+isinw) és z₂=c+di=q(cosw'+isinw').

   lap teteje

2. Komplex számokkal kapcsolatos fogalmak

   Komplex számok valós része:

   Re(z)=a=rcosw

   Komplex számok képzetes része:

   Im(z)=b=rsinw

   Komplex számok abszolút értéke:

   |z|=gyök₂(a²+b²)=r.

   Komplex számok argumentuma:

   arg(z)=w

   Az abszolút érték tulajdonsága, hogy

   |z₁z₂|=|z₁||z₂|.

   Két komplex számot pontosan akkor tekintünk egyenlőnek, ha valós részük és képzetes részük is megegyezik.

   lap teteje

3. Komplex számokkal végzett műveletek

   Az egyes műveleteket a komplex számok azon alakjában írtuk le, melyet leginkább használunk az adott művelet elvégzésekor.

   Két komplex szám összege:

   z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i.

   Két komplex szám különbsége:

   z₁-z₂=(a-c)+(b-d)i.

   Két komplex szám szorzata kanonikus alakban:

   z₁z₂=(ac-bd)+(bc+ad)i,

   trigonometrikus alakban:

   z₁z₂=rq(cos(w+w')+isin(w+w')).

   Két komplex szám hányadosa (feltesszük, hogy z₂ nem zéró):

   z₁/z₂=(r/q)(cos(w-w')+isin(w-w')).

   lap teteje

4. Konjugált komplex szám fogalma:
   konz=a-bi,
   konz=r(cosw-isinw)=r(cos(-w)+isin(-w)).

   Komplex számok összegének, különbségének, szorzatának, hányadosának konjugáltja a műveletben szereplő számok konjugáltjainak összege, különbsége, szorzata, hányadosa. Komplex szám konjugáltjának konjugáltja maga a szám.
   

lap teteje

Néhány, a fenti fogalmakra épülő összefüggés

1. Komplex szám reciproka (az osztás műveletből származtathatjuk):
   1/z=(1/r)(cos(-w)+isin(-w)).

   Komplex szám reciprokának konjugáltja:

   kon(1/z)=(1/r)(cosw+isinw).

   lap teteje

2. Komplex számok hatványozása, gyökvonás komplex számból:

   Komplex szám n-edik hatványa:

   zⁿ=rⁿ(cosnw+isinnw).

   Komplex szám n-edik gyöke:

   gyök_n(z)=gyök_n(r)(cos((w+2kpi)/n)+isin((w+2kpi)/n),

   ahol k=0, 1,..., n-1.

   Komplex számnak pontosan annyi gyöke van, ahányadik gyököt vontunk.

   lap teteje

3. Komplex szám és konjugáltjának a szorzata:
   zkon(z)=a²+b²=|z|²,
   zkon(z)=r²=|z|².

   lap teteje

4. Egység-komplex számok (általában e-vel jelöljük):
   |e|=1,
   e=cosw+isinw.

   Egység-komplex számok reciproka és konjugáltja egyenlő:

   kon(e)=1/e.

   lap teteje

5. n-edik egységgyökök (az 1 valós szám n-edik gyökei C-ben):
   cos(2kpi/n)+isin(2kpi/n), k=0, 1,..., n-1.

   Primitívnek nevezzük az egységgyököt, ha trigonometrikus alakjában (n,k)=1.

   Választva egy primitívet, pl. cos(2pi/n)+isin(2pi/n)-t, a hatványozás miatt írhatók:

   1, e, e²,..., e^n-1

   alakban is.

   Befejezésül megmutatjuk, hogy az n-edik egységgyökök összege zérus:

   1+e+e²+...+e^n-1=(eⁿ-1)/(e-1)=0.
   

   lap teteje