[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

[4]

A komplex számok geometriája

Ebben a fejezetben a feladatok megoldásához szükséges ismeretek találhatók.

Tartalom:

  1. A komplex számsík
  2. A komplex számokkal kapcsolatos alapfogalmak geometriai jelentése
    (valós rész, képzetes rész, abszolút érték, argumentum)
  3. Műveletek és a geometriai transzformációk kapcsolata
    (összeadás, szorzás, konjugált, reciprok konjugáltja)
  4. Alakzatok a komplex síkon
    (körök, háromszögek, négyszögek, sokszögek)
  5. Összefüggések a körben
    (párhuzamos és merőleges húrok, szöget bezáró húrok, húrok metszéspontja)
  6. Összefüggések a háromszögben
    (súlypont, magasságpont, Euler egyenes)


  1. A komplex számsík
  2. A komplex számok halmazát egy síknak tekintjük, ezt a síkot komplex számsíknak vagy Gauss-féle komplex számsíknak nevezzük. A komplex számokat így a komplex számsík pontjaiként fogjuk fel. A komplex számsíkon felveszünk egy derékszögű koordinátarendszert. A függőleges tengelyt képzetes tengelynek, a vízszintes tengelyt valós tengelynek, metszéspontjukat origónak nevezzük (jelölésük: Im, Re, illetve O).


    Kanonikus alakú komplex szám.


    Trigonometrikus alakú komplex szám.

    lap teteje

  3. A komplex számokkal kapcsolatos alapfogalmak geometriai jelentése
  4. Vegyük sorra, mit jelentenek a komplex számokkal kapcsolatos fogalmak ebben a koordinátarendszerben. Komplex szám
    valós részén a szám valós tengelyen vett merőleges vetületének origótól való előjeles távolságát,
    képzetes részén a képzetes tengelyen vett merőleges vetületének origótól való előjeles távolságát,
    abszolút értékén a komplex szám origótól való távolságát,
    argumentumán a valós tengely pozitív felével bezárt pozitív irányítású szögét
    értjük.

    Az ábrákon látható a szoros kapcsolat a Descartes-féle, illetve a polár koordináta-rendszerekkel. Tulajdonképpen a komplex számok egyesítik magukban a két rendszer lehetőségeit, nagyobb teret hagyva a két módszer közötti mozgásra.

    lap teteje

  5. A műveletek és a geometriai transzformációk kapcsolata
    1. Komplex számok (z1, z2 ) összeadása eltolás, hiszen

      Rez1+Rez2=Re(z1+z2) és Imz1+Imz2=Im(z1+z2),
      illetve
      Rez1-Rez2=Re(z1-z2) és Imz1-Imz2=Im(z1-z2).


      Komplex számok összeadása.

      lap teteje

    2. Komplex számok szorzása

      a.) egység-komplex számmal:
      forgatás az origó körül az egység-komplex szám argumentumával (osztás esetén az argumentum (-1)-szeresével), ugyanis

      |ze|=|z||e|=|z|1=|z|,
      argze=argz+arge.


      Komplex és egység-komplex szám szorzata.

      b.) valós számmal (azaz kpi argumentumú komplex számmal, k valós):
      nyújtás (páratlan k esetén még tükröznünk kell az origóra is).


      Komplex és valós szám szorzata.

      c.) tetszőleges komplex számmal:
      forgatva nyújtás (felbontható az előző kettőre.)

      lap teteje

    3. Komplex szám konjugáltja

      A konjugált előállításához a számot tükröznünk kell a valós tengelyre.

      Re(konz)=Rez,
      Im(konz)=-Imz.


      Komplex szám és konjugáltja.

      lap teteje

    4. Ha komplex szám reciprokát konjugáljuk, akkor az adott pontot tekintve egységkörre vonatkozó inverziót végzünk:

      arg(kon(1/z))=argz,
      |kon(1/z)|=1/|z|.


      Komplex szám reciprokának konjugáltja: inverzió.

      lap teteje

    Az eddigiekből adódnak például a következők.

    Azonos abszolút értékű komplex számok és csak azok egy origó középpontú körön helyezkednek el, melynek sugara egyenlő a számok abszolút értékével.
    Pl. az egység-komplex számok alkotják az egységkört.
    Könnyen ellenőrizhetjük, hogy az n-edik egységgyökök egy, az egységkörbe írt szabályos n-szög csúcsait adják.

    lap teteje

  6. Alakzatok a komplex síkon
    1. Körök

      Megállapítottuk az imént, hogy pontosan az azonos abszolút értékű komplex számok alkotják az origó középpontú köröket. Az r sugarú, origó középpontú kör egyenlete ezért:

      |z|=r.

      (r=1 esetén jutunk az egységkörhöz.)
      Ha a kör pontjait eltoljuk az origóból egy w számmal, akkor a w középpontú, r sugarú kör egyenletét kapjuk:

      |z-w|=r.

      lap teteje

    2. Háromszögek

      Három nem egy egyenesbe eső komplex szám (legyenek a, b, c) meghatároz egy háromszöget. Tüntessük ki a háromszög egyik csúcsát, pl. az a-t. Ekkor a c csúcsot megkaphatjuk úgy, hogy b-re egy a körüli forgatva nyújtást alkalmazunk. Formálisan (z-vel jelölve a megfelelő komplex számot):

      (b-a)z+a=c.

      Ha az a csúcsnál a háromszögnek derékszöge van, akkor arg(z)=90°, azaz z=qi, ahol q valós.Tehát derékszögű háromszög csúcsai között az alábbi összefüggés áll fenn (a derékszög az a csúcsnál található):

      (b-a)qi+a=c.

      Tegyük fel, hogy a derékszögű háromszögünk egyben egyenlő szárú is. Ekkor a hasonlóság aránya, q=1, így:

      (b-a)i+a=c.

      Ha a háromszög egyenlő szárú bár, ámde nem derékszögű, akkor az összefüggés így alakul (e tetszőleges egység-komplex szám):

      (b-a)e+a=c.

      Hasonló módon meghatározhatjuk, mikor szabályos egy háromszög. A szabályos háromszögről tudjuk: oldalai egyenlők, szögei pedig 60°-ak. Ezért pl. a c csúcsot egy a körüli, 60°-os forgatással kaphatjuk meg b-ből. Legyen e'=cos60°+isin60°:

      (b-a)e'+a=c.

      Természetesen bármelyik másik csúcs körül forgatva is fennállnak az összefüggések.

      lap teteje

    3. Négyszögek

      A négyszögeket meghatározó komplex számokat jelöljük a, b, c, d-vel. A négyszögek közül először a paralelogrammát vegyük szemügyre. A paralelogrammáról ismert, hogy szemben fekvő oldalai párhuzamosak. Így a csúcsai között az

      a-b=d-c

      összefüggés áll fenn. (Bizonyos betűket itt is felcserélhetünk.)
      Téglalapot akkor kapunk, ha a csúcsokra teljesülnek (q valós szám):

      (c-b)qi=a-b
      (b-a)(1/q)i=d-a.

      Az első egyenletben a cb oldalt forgatjuk el a b csúcs körül derékszöggel és nyújtjuk q arányban. A da oldalnak azonban egyenlő hosszúnak kell lennie a cb-vel, ezért a második egyenletben az arányossági tényező 1/q (most ab oldalt forgatjuk). Mindkét forgatás derékszögű, ezért i-vel kell szoroznunk.
      A négyzetek vizsgálatához csupán az előzőekben használt arányossági tényezőt, q-t kell 1-nek vennünk, hiszen a négyzet oldalai egyenlők, nincs szükségünk nyújtásra:

      (c-b)i=a-b,
      (b-a)i=d-a.

      lap teteje

    4. Sokszögek

      A sokszögek két családjáról emlékezünk meg itt: a húrsokszögekről és a szabályos sokszögekről.
      Húrsokszög alatt most körbe írt (a kör középpontja w, sugara r) alakzatot értünk. Ha egy húrsokszög csúcsait a1, a2,..., an-nel jelöljük, akkor igaz rájuk a következő:

      |ai-w|=r,

      ahol i=1, 2,..., n.

      A szabályos sokszögekről többet is megtudhatunk, ha végiggondoljuk a következőket.

      1. Korábban már említettük, hogy az n-edik egységgyökök egy szabályos n-szög csúcsaiban helyezkednek el. Ezt úgy mutatjuk meg, hogy igazoljuk: az n-edik egységgyökök egyenlő távolságra vannak egymástól és az őket összekötő szakaszok egyenlő szöget zárnak be. Legyen j az 1, 2,..., n valamelyike, e=cos(2pi/n)+isin(2pi/n). Ekkor

        |ej-ej+1|=|ej||1-e|=|1-e|,

        tehát bármely kettő szomszédos egységgyök távolsága egyenlő az első kettő szomszédos egységgyök távolságával. Ebből már következik a szögek egyenlősége, hiszen bármely két szomszédos csúcs és az origó által alkotott háromszögek egybevágóak (az előzőek alapján), ezért a szögeik is egyenlők. Az egységgyökök alkotta sokszög oldalai által bezárt szögek pedig kettő-kettő egymás mellett levő egybevágó háromszög alapon fekvő szögeinek az összege. Így az egységgyökök egy szabályos sokszög csúcsaiban helyezkednek el.

      2. Vegyünk egy szabályos sokszöget a síkon (A=A1A2...An), legyen a köré írt kör középpontja az origó. Ekkor tetszőleges origó körüli forgatással és origó középpontú nyújtással, valamint eltolással ismét szabályos sokszöghöz jutunk. (Csak hasonlósági transzformációkat végeztünk.) Ezeket a mozgásokat egy komplex számmal való szorzással (z) és egy komplex szám hozzáadásával (u) írhatjuk le bármely i-re (a sokszög képét S=S1S2...Sn-sel jelöljük, i=1, 2,..., n):

        Aiz+u=Si.

        Tehát a síkon elhelyezkedő bármely szabályos sokszög a fenti transzformációval egy egységkörbe írt szabályos sokszögbe vihető (alkalmas z, u számokat választva), amelynek csúcsai az n-edik egységgyökök.

      lap teteje

  7. Összefüggések a körben
  8. A következőkben algebrai feltételeket (szükséges és elegendő feltételeket, bár ezt külön nem hangsúlyozzuk) keresünk körben húzott húrok közötti összefüggések megállapítására. A kört mindig origó középpontúnak tételezzük fel, a húrokat (a1a2 és b1b2 ) végpontjaikkal adjuk meg.

    lap teteje

    1. Párhuzamos húrok

      Először tegyük fel, hogy a1a2 párhuzamos b1b2-vel (lásd első ábra). Ekkor a1b1 körív egyenlő a2b2 körívvel, így az a1Ob1 szög egyenlő a2Ob2 szöggel. Tehát ugyanolyan irányú és nagyságú O körüli forgatás viszi b1-et a1-be, mint a2-t b2-be. Írja le ezt a forgatást az e-vel való szorzás:

      b1e=a1 és a2e=b2.

      A két egyenlőséget összeszorozva és egyszerűsítve kapjuk két húr párhuzamosságának feltételét:

      aaa2=b1b2.


      Körhúrok párhuzamossága.

      lap teteje

    2. Merőleges húrok

      Másodszor azt tegyük fel, hogy a1a2 húr merőleges b1b2-re. A középső ábrára tekintve leolvashatjuk, hogy b1b2(-b1) háromszög derékszögű, így b2(-b1) húr párhuzamos a1a2-vel. Az előzőek figyelembe vételével adódik a merőlegesség feltétele:

      a1a2=-b1b2.


      Körhúrok merőlegessége.

      lap teteje

    3. Szöget bezáró húrok

      Vizsgáljuk azt az esetet, ha a két húr valamely w szöget zár be egymással. A harmadik ábrát tekintve legyen b3 olyan, amire b1b3 párhuzamos a1a2-vel:

      a1a2=b1b3.

      Így b3-t egy 2w szögű origó körüli elforgatás viszi b2-be (jelöljük e2w-val a megfelelő egység-komplex számot):

      b3e2w=b2.

      A két egyenletet egybevetve kapjuk a harmadik feltételt:

      a1a2e2w=b1b2.


      Tetszőleges szöget bezáró húrok.

      lap teteje

    4. Húrok metszéspontja

      Legyen az a1a2 húr felezőpontja a, a b1b2-é b, metszéspontjukat pedig jelöljük s-sel. Mivel az Oas háromszög derékszögű, alkalmazhatjuk rá a Pitagorasz-tételt:

      |s|2=|s-a|2+|a|2.


      Két húr metszéspontja.

      Figyelembe véve, hogy komplex szám abszolút értékének négyzete a számnak és konjugáltjának szorzatával egyenlő:

      skons=(s-a)(kons-kona)+akona.

      Ebből

      s/(2a)+kons/(2kona)=1,

      vagy a 2a=a1+a2 miatt

      s/(a1+a2)+kons/(kona1+kona2)=1.

      a1 és a1 egység-komplex számok, konjugáltjuk a reciprokukkal egyenlő, így helyettesítve az

      konsa1a2+s=a1+a2

      egyenlőséget nyerjük. Az s pont a b1b2 egyenesén is rajta van, ezért hasonló eredményt nyerhetünk b-re is:

      konsb1b2+s=b1+b2.

      Az utóbbi két egyenletből s már kifejezhető:

      s=(a1a2(b1+b2)-b1b2(a1+a2))/(a1a2-b1b2).

      lap teteje

      A négy gondolatmenetet megvizsgálva észrevehetjük, hogy

      1. metsző húrok esetén (utóbbi három eset) nem tettünk kikötéseket a metszéspont helyére vonatkozóan, így a metszéspontok lehetnek a körön kívül vagy belül, az összefüggések mindenképpen érvényben maradnak.

      2. az első három esetben kapott eredmények változatlan formában érvényesek maradnak akkor is, ha egységkör helyett egy tetszőleges origó középpontú kört tekintünk. A negyedik esetben a formula a hasonlósági tényező erejéig marad változatlan.

    lap teteje

  9. Összefüggések a háromszögben
  10. A háromszögek csúcsait a, b, c betűkkel jelöljük. (Feltesszük róluk, hogy nem esnek egy egyenesbe.) Három jól ismert tényt igazolunk a komplex számok segítségével.

    lap teteje

    1. Súlypont

      A háromszög súlypontját a komplex számok segítségével ugyanúgy kaphatjuk meg, mintha a vektorok közötti összefüggéseket használnánk:

      fa=(b+c)/2,

      majd innen:

      s=(a+b+c)/3.

      lap teteje

    2. Magasságpont

      Legyen a háromszög köré írt körének sugara 1, középpontja az origó. Merőlegest bocsátunk a c csúcsból az ab oldalra és az a csúcsból a bc oldalra, a húrok a kört a1, illetve c1 pontokban metszik. A merőlegesség feltételét használva:

      ab=-cc1,

      bc=-aa1.

      Írjuk fel az aa1, cc1 húrok metszéspontját meghatározó képletet:

      m=(aa1(c+c1)-cc1(aa1))/(aa1-cc1),

      majd ebbe helyettesítsük be az előző két egyenletből kifejezhető a1-t és c1-t, így eljutunk az

      m=(-c(c-ab/c)+a(a-bc/a))/(-c+a)

      formulához, amit beszorzással és kiemeléssel

      m=a+b+c

      képletté alakítunk. A számolás eredményeként az abc háromszög magasságpontját kaptuk meg.

      lap teteje

    3. Euler egyenes

      A fenti két pont eredményeként, pusztán a komplex számok közötti összefüggéseket felhasználva sikerült megmutatnunk, hogy a körül írt kör középpontja, a magasság- és a súlypont egy egyenesbe - az un. Euler-egyenesbe - esnek, és a súlypont 1:2 arányban osztja a körül írt kör középpontja és a magasságpont közé eső szakaszt.

    lap teteje

 

©Trembeczki Csaba, 1998.