| |
[4]
A komplex számok geometriája
Ebben a fejezetben a feladatok megoldásához szükséges ismeretek találhatók.
- A komplex számsík
A komplex számok halmazát egy síknak tekintjük, ezt a síkot komplex számsíknak vagy Gauss-féle komplex számsíknak nevezzük. A komplex számokat így a komplex számsík pontjaiként fogjuk fel. A komplex számsíkon felveszünk egy derékszögű koordinátarendszert. A függőleges tengelyt képzetes tengelynek, a vízszintes tengelyt valós tengelynek, metszéspontjukat origónak nevezzük (jelölésük: Im, Re, illetve O).
Kanonikus alakú komplex szám.
Trigonometrikus alakú komplex szám.
lap teteje
- A komplex számokkal kapcsolatos alapfogalmak geometriai jelentése
Vegyük sorra, mit jelentenek a komplex számokkal kapcsolatos fogalmak ebben a koordinátarendszerben. Komplex szám
valós részén a szám valós tengelyen vett merőleges vetületének origótól való előjeles távolságát,
képzetes részén a képzetes tengelyen vett merőleges vetületének origótól való előjeles távolságát,
abszolút értékén a komplex szám origótól való távolságát,
argumentumán a valós tengely pozitív felével bezárt pozitív irányítású szögét
értjük.
Az ábrákon látható a szoros kapcsolat a Descartes-féle, illetve a polár koordináta-rendszerekkel. Tulajdonképpen a komplex számok egyesítik magukban a két rendszer lehetőségeit, nagyobb teret hagyva a két módszer közötti mozgásra.
lap teteje
- A műveletek és a geometriai transzformációk kapcsolata
- Komplex számok (z1, z2 ) összeadása eltolás, hiszen
Rez1+Rez2=Re(z1+z2) és Imz1+Imz2=Im(z1+z2),
illetve
Rez1-Rez2=Re(z1-z2) és Imz1-Imz2=Im(z1-z2).
Komplex számok összeadása.
lap teteje
- Komplex számok szorzása
a.) egység-komplex számmal:
forgatás az origó körül az egység-komplex szám
argumentumával (osztás esetén az argumentum (-1)-szeresével), ugyanis
|ze|=|z||e|=|z|1=|z|,
argze=argz+arge.
Komplex és egység-komplex szám szorzata.
b.) valós számmal (azaz kpi argumentumú komplex számmal, k valós):
nyújtás (páratlan k esetén még tükröznünk kell az origóra is).
Komplex és valós szám szorzata.
c.) tetszőleges komplex számmal:
forgatva nyújtás (felbontható az előző kettőre.)
lap teteje
- Komplex szám konjugáltja
A konjugált előállításához a számot tükröznünk kell a valós tengelyre.
Re(konz)=Rez,
Im(konz)=-Imz.
Komplex szám és konjugáltja.
lap teteje
- Ha komplex szám reciprokát konjugáljuk, akkor az adott pontot tekintve egységkörre vonatkozó inverziót végzünk:
arg(kon(1/z))=argz,
|kon(1/z)|=1/|z|.
Komplex szám reciprokának konjugáltja: inverzió.
lap teteje
Az eddigiekből adódnak például a következők.
Azonos abszolút értékű komplex számok és csak azok egy origó középpontú körön helyezkednek el, melynek sugara egyenlő a számok abszolút értékével.
Pl. az egység-komplex számok alkotják az egységkört.
Könnyen ellenőrizhetjük, hogy az n-edik egységgyökök egy, az egységkörbe írt szabályos n-szög csúcsait adják.
lap teteje
- Alakzatok a komplex síkon
- Körök
Megállapítottuk az imént, hogy pontosan az azonos abszolút értékű komplex számok alkotják az origó középpontú köröket. Az r sugarú, origó középpontú kör egyenlete ezért:
|z|=r.
(r=1 esetén jutunk az egységkörhöz.)
Ha a kör pontjait eltoljuk az origóból egy w számmal, akkor a w középpontú, r sugarú kör egyenletét kapjuk:
|z-w|=r.
lap teteje
- Háromszögek
Három nem egy egyenesbe eső komplex szám (legyenek a, b, c) meghatároz egy háromszöget. Tüntessük ki a háromszög egyik csúcsát, pl. az a-t. Ekkor a c csúcsot megkaphatjuk úgy, hogy b-re egy a körüli forgatva nyújtást alkalmazunk. Formálisan (z-vel jelölve a megfelelő komplex számot):
(b-a)z+a=c.
Ha az a csúcsnál a háromszögnek derékszöge van, akkor arg(z)=90°, azaz z=qi, ahol q valós.Tehát derékszögű háromszög csúcsai között az alábbi összefüggés áll fenn (a derékszög az a csúcsnál található):
(b-a)qi+a=c.
Tegyük fel, hogy a derékszögű háromszögünk egyben egyenlő szárú is. Ekkor a hasonlóság aránya, q=1, így:
(b-a)i+a=c.
Ha a háromszög egyenlő szárú bár, ámde nem derékszögű, akkor az összefüggés így alakul (e tetszőleges egység-komplex szám):
(b-a)e+a=c.
Hasonló módon meghatározhatjuk, mikor szabályos egy háromszög. A szabályos háromszögről tudjuk: oldalai egyenlők, szögei pedig 60°-ak. Ezért pl. a c csúcsot egy a körüli, 60°-os forgatással kaphatjuk meg b-ből. Legyen e'=cos60°+isin60°:
(b-a)e'+a=c.
Természetesen bármelyik másik csúcs körül forgatva is fennállnak az összefüggések.
lap teteje
- Négyszögek
A négyszögeket meghatározó komplex számokat jelöljük a, b, c, d-vel. A négyszögek közül először a paralelogrammát vegyük szemügyre. A paralelogrammáról ismert, hogy szemben fekvő oldalai párhuzamosak. Így a csúcsai között az
a-b=d-c
összefüggés áll fenn. (Bizonyos betűket itt is felcserélhetünk.)
Téglalapot akkor kapunk, ha a csúcsokra teljesülnek (q valós szám):
(c-b)qi=a-b
(b-a)(1/q)i=d-a.
Az első egyenletben a cb oldalt forgatjuk el a b csúcs körül derékszöggel és nyújtjuk q arányban. A da oldalnak azonban egyenlő hosszúnak kell lennie a cb-vel, ezért a második egyenletben az arányossági tényező 1/q (most ab oldalt forgatjuk). Mindkét forgatás derékszögű, ezért i-vel kell szoroznunk.
A négyzetek vizsgálatához csupán az előzőekben használt arányossági tényezőt, q-t kell 1-nek vennünk, hiszen a négyzet oldalai egyenlők, nincs szükségünk nyújtásra:
(c-b)i=a-b,
(b-a)i=d-a.
lap teteje
- Sokszögek
A sokszögek két családjáról emlékezünk meg itt: a húrsokszögekről és a szabályos sokszögekről.
Húrsokszög alatt most körbe írt (a kör középpontja w, sugara r) alakzatot értünk. Ha egy húrsokszög csúcsait a1, a2,..., an-nel jelöljük, akkor igaz rájuk a következő:
|ai-w|=r, ahol i=1, 2,..., n.
A szabályos sokszögekről többet is megtudhatunk, ha végiggondoljuk a következőket.
- Korábban már említettük, hogy az n-edik egységgyökök egy szabályos n-szög csúcsaiban helyezkednek el. Ezt úgy mutatjuk meg, hogy igazoljuk: az n-edik egységgyökök egyenlő távolságra vannak egymástól és az őket összekötő szakaszok egyenlő szöget zárnak be. Legyen j az 1, 2,..., n valamelyike, e=cos(2pi/n)+isin(2pi/n). Ekkor
|ej-ej+1|=|ej||1-e|=|1-e|,
tehát bármely kettő szomszédos egységgyök távolsága egyenlő az első kettő szomszédos egységgyök távolságával. Ebből már következik a szögek egyenlősége, hiszen bármely két szomszédos csúcs és az origó által alkotott háromszögek egybevágóak (az előzőek alapján), ezért a szögeik is egyenlők. Az egységgyökök alkotta sokszög oldalai által bezárt szögek pedig kettő-kettő egymás mellett levő egybevágó háromszög alapon fekvő szögeinek az összege. Így az egységgyökök egy szabályos sokszög csúcsaiban helyezkednek el.
- Vegyünk egy szabályos sokszöget a síkon (A=A1A2...An), legyen a köré írt kör középpontja az origó. Ekkor tetszőleges origó körüli forgatással és origó középpontú nyújtással, valamint eltolással ismét szabályos sokszöghöz jutunk. (Csak hasonlósági transzformációkat végeztünk.) Ezeket a mozgásokat egy komplex számmal való szorzással (z) és egy komplex szám hozzáadásával (u) írhatjuk le bármely i-re (a sokszög képét S=S1S2...Sn-sel jelöljük, i=1, 2,..., n):
Aiz+u=Si.
Tehát a síkon elhelyezkedő bármely szabályos sokszög a fenti transzformációval egy egységkörbe írt szabályos sokszögbe vihető (alkalmas z, u számokat választva), amelynek csúcsai az n-edik egységgyökök.
lap teteje
- Összefüggések a körben
A következőkben algebrai feltételeket (szükséges és elegendő feltételeket, bár ezt külön nem hangsúlyozzuk) keresünk körben húzott húrok közötti összefüggések megállapítására. A kört mindig origó középpontúnak tételezzük fel, a húrokat (a1a2 és b1b2 ) végpontjaikkal adjuk meg.
lap teteje
- Párhuzamos húrok
Először tegyük fel, hogy a1a2 párhuzamos b1b2-vel (lásd első ábra). Ekkor a1b1 körív egyenlő a2b2 körívvel, így az a1Ob1 szög egyenlő a2Ob2 szöggel. Tehát ugyanolyan irányú és nagyságú O körüli forgatás viszi b1-et a1-be, mint a2-t b2-be. Írja le ezt a forgatást az e-vel való szorzás:
b1e=a1 és a2e=b2.
A két egyenlőséget összeszorozva és egyszerűsítve kapjuk két húr párhuzamosságának feltételét:
aaa2=b1b2.
Körhúrok párhuzamossága.
lap teteje
- Merőleges húrok
Másodszor azt tegyük fel, hogy a1a2 húr merőleges b1b2-re. A középső ábrára tekintve leolvashatjuk, hogy b1b2(-b1) háromszög derékszögű, így b2(-b1) húr párhuzamos a1a2-vel. Az előzőek figyelembe vételével adódik a merőlegesség feltétele:
a1a2=-b1b2.
Körhúrok merőlegessége.
lap teteje
- Szöget bezáró húrok
Vizsgáljuk azt az esetet, ha a két húr valamely w szöget zár be egymással. A harmadik ábrát tekintve legyen b3 olyan, amire b1b3 párhuzamos a1a2-vel:
a1a2=b1b3.
Így b3-t egy 2w szögű origó körüli elforgatás viszi b2-be (jelöljük e2w-val a megfelelő egység-komplex számot):
b3e2w=b2.
A két egyenletet egybevetve kapjuk a harmadik feltételt:
a1a2e2w=b1b2.
Tetszőleges szöget bezáró húrok.
lap teteje
- Húrok metszéspontja
Legyen az a1a2 húr felezőpontja a, a b1b2-é b, metszéspontjukat pedig jelöljük s-sel. Mivel az Oas háromszög derékszögű, alkalmazhatjuk rá a Pitagorasz-tételt:
|s|2=|s-a|2+|a|2.
Két húr metszéspontja.
Figyelembe véve, hogy komplex szám abszolút értékének négyzete a számnak és konjugáltjának szorzatával egyenlő:
skons=(s-a)(kons-kona)+akona.
Ebből
s/(2a)+kons/(2kona)=1,
vagy a 2a=a1+a2 miatt
s/(a1+a2)+kons/(kona1+kona2)=1.
a1 és a1 egység-komplex számok, konjugáltjuk a reciprokukkal egyenlő, így helyettesítve az
konsa1a2+s=a1+a2
egyenlőséget nyerjük. Az s pont a b1b2 egyenesén is rajta van, ezért hasonló eredményt nyerhetünk b-re is:
konsb1b2+s=b1+b2.
Az utóbbi két egyenletből s már kifejezhető:
s=(a1a2(b1+b2)-b1b2(a1+a2))/(a1a2-b1b2).
lap teteje
A négy gondolatmenetet megvizsgálva észrevehetjük, hogy
- metsző húrok esetén (utóbbi három eset) nem tettünk kikötéseket a metszéspont helyére vonatkozóan, így a metszéspontok lehetnek a körön kívül vagy belül, az összefüggések mindenképpen érvényben maradnak.
- az első három esetben kapott eredmények változatlan formában érvényesek maradnak akkor is, ha egységkör helyett egy tetszőleges origó középpontú kört tekintünk. A negyedik esetben a formula a hasonlósági tényező erejéig marad változatlan.
lap teteje
- Összefüggések a háromszögben
A háromszögek csúcsait a, b, c betűkkel jelöljük. (Feltesszük róluk, hogy nem esnek egy egyenesbe.) Három jól ismert tényt igazolunk a komplex számok segítségével.
lap teteje
- Súlypont
A háromszög súlypontját a komplex számok segítségével ugyanúgy kaphatjuk meg, mintha a vektorok közötti összefüggéseket használnánk:
fa=(b+c)/2,
majd innen:
s=(a+b+c)/3.
lap teteje
- Magasságpont
Legyen a háromszög köré írt körének sugara 1, középpontja az origó. Merőlegest bocsátunk a c csúcsból az ab oldalra és az a csúcsból a bc oldalra, a húrok a kört a1, illetve c1 pontokban metszik. A merőlegesség feltételét használva:
ab=-cc1,
bc=-aa1.
Írjuk fel az aa1, cc1 húrok metszéspontját meghatározó képletet:
m=(aa1(c+c1)-cc1(aa1))/(aa1-cc1),
majd ebbe helyettesítsük be az előző két egyenletből kifejezhető a1-t és c1-t, így eljutunk az
m=(-c(c-ab/c)+a(a-bc/a))/(-c+a)
formulához, amit beszorzással és kiemeléssel
m=a+b+c
képletté alakítunk. A számolás eredményeként az abc háromszög magasságpontját kaptuk meg.
lap teteje
- Euler egyenes
A fenti két pont eredményeként, pusztán a komplex számok közötti összefüggéseket felhasználva sikerült megmutatnunk, hogy a körül írt kör középpontja, a magasság- és a súlypont egy egyenesbe - az un. Euler-egyenesbe - esnek, és a súlypont 1:2 arányban osztja a körül írt kör középpontja és a magasságpont közé eső szakaszt.
lap teteje
|