A feladatokban nyomtatott nagybetűk (A, B, C, stb.) jelölik a sík pontjait, nyomtatott kisbetűk (a, b, c, stb.) a távolságokat és komplex számokat. Az AB, CD, stb. jelenthetnek szakaszt, egyenest, avagy szakasz hosszát. Néhány esetben két pont távolságára a d(AB) jelet használjuk. Ahol az nem egyértelmű, a szorzás műveletet *-gal jelöljük.

Tartalom:

1. Ráírt alakzatok
   1. Szabályos sokszögek (5 feladat)
   2. Négyzetek, téglalapok (14 feladat)
2. Szabályos alakzatok
   1. Háromszögek, négyszögek, ... (16 feladat)
   2. Sokszögek (8 feladat)
3. Egyéb feladatok (20 feladat)

1. Ráírt alakzatok

1. Szabályos sokszögek

1. Az adott AB szakasz egy belső pontja P. AP, PB fölé AB ugyanazon oldalán szabályos háromszögeket szerkesztünk: APQ-t és PBR-t. AR felezőpontja S, BQ felezőpontja T. Igazoljuk, hogy PST háromszög szabályos.
2. Egy háromszög oldalaira szabályos háromszögeket szerkesztünk. Igazoljuk, hogy ezen háromszögek középpontjai egy szabályos háromszög csúcsai.
3. Az ABC háromszög BC oldalára a BCD, BCD' szabályos háromszögeket rajzoljuk. Bizonyítsuk be, hogy AD²+AD'²=AB²+BC²+CA².
4. Egy háromszög oldalait harmadoljuk és a középső harmadokba szabályos háromszögeket írunk befelé. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos háromszögek nem oldalakra eső csúcsai ismét egy szabályos háromszöget alkotnak.
5. Egy hatszög oldalaira kifelé szabályos háromszögeket rajzolunk, majd kijelöljük az új csúcsok által alkotott hatszög oldalfelező pontjait. Bizonyítsuk be, hogy ha a felezőpontok szabályos hatszöget alkotnak, akkor a kiindulásul vett hatszög centrálszimmetrikus.

lap teteje

Négyzetek, téglalapok

1. Az ABC egyenlőszárú, derékszögű háromszög oldalaira kifelé az ABR₁R₂, BCR₃R₄, CAR₅R₆ négyzeteket rajzoljuk. Bizonyítsuk be, hogy az R_i pontok egy körön vannak.
2. Egy ABC háromszög oldalaira kifelé az ABPQ, BCRS, CATU négyzeteket írjuk. Bizonyítsuk be, hogy (PS²+RU²+TQ²)/(AB²+BC²+CA²)=3.
3. Az ABC háromszögre az ABDE, ACFG négyzeteket rajzoljuk kifelé. Bizonyítsuk be, hogy az A-n átmenő, EG-re merőleges egyenes felezi BC-t.
4. Az ABC háromszög oldalaira kifelé ABMN, BCPQ négyzeteket rajzoljuk. Az AC felezőpontja B₁. Igazoljuk, hogy 2BB₁=MQ.
5. Az ABC háromszög oldalaira írjuk az ABMN, BCQR négyzeteket kifelé, középpontjaik O₁, illetve O₂. Igazoljuk, hogy ha B₁ az AC felezőpontja, akkor O₁B₁, O₂B₁ merőlegesek és egyenlők.
6. Az ABC háromszög oldalaira kifelé az ABMN, BCQP négyzeteket szerkesztjük, középpontjaik O₁, O₂. AC felezőpontja K, MP felezőpontja L. Bizonyítsuk be, hogy O₁LO₂K négyzet.
7. Szerkesszünk az ABC háromszög AC és BC oldalaira kifelé négyzeteket. Bizonyítsuk be, hogy ezen négyzetek C-vel szemközti csúcsait összekötő egyenes felezi az AB oldalra befelé szerkeszthető négyzet területét.
8. Az ABC háromszög AC, BC oldalaira írjuk kifelé az ACDE, BCGF négyzeteket. A C pont befutja AB egyik félsíkját. Mutassuk meg, hogy a mozgó EF egyenesek egy ponton haladnak át.
9. Az ABC háromszög AC, BC oldalaira kifelé írjuk az ACDE, BCGF hasonló téglalapokat. A C pont befutja AB egyik félsíkját. Mit ír le ezalatt az EF szakasz felezőpontja?
10. ABCD tetszőleges konvex négyszög. Oldalaira négyzeteket írunk kifelé és a szemközti négyzetközéppontokat összekötjük. Bizonyítsuk be, hogy keletkezett szakaszok egyenlőek és merőlegesek.
11. Az ABCD paralelogramma oldalaira kifelé négyzeteket szerkesztünk. Bizonyítsuk be, hogy a kapott négyzetek középpontjai egy négyzet csúcsai.
12. Rajzoljunk a szabályos hatszög oldalaira kifelé négyzeteket. Bizonyítsuk be, hogy a négyzeteknek a hatszög csúcsaitól különböző csúcsai szabályos 12-szöget alkotnak.
13. A, B, C, D egy szabályos 12-szög egymás utáni csúcsai. Mutassuk meg, hogy AB, CD-re befelé írt négyzeteknek van egy közös csúcsa.
14. Az ABCD szimmetrikus trapéz (AB párhuzamos CD-vel, AB>CD) oldalaira kifelé olyan téglalapokat szerkesztünk, amelyek két szomszédos oldala a trapéz megfelelő két szemközti oldalával egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy a téglalapok középpontjai egy négyzet csúcsai.

lap teteje

Szabályos alakzatok

1. Háromszögek, négyszögek, ...

1. Egy szabályos háromszög egyik csúcsa a (2*négyzetgyök(3), 2*négyzetgyök(3)) pont. A háromszög súlypontja az origó. Mik atöbbi csúcs koordinátái?
2. Egy szabályos háromszög oldalait harmadoljuk. Igazoljuk, hogy az osztópontok egy szabályos hatszög csúcsai.
3. Az ABC szabályos háromszög O középpontján átmenő egyenes az oldalegyeneseket X, Y, Z pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az (1/OX²)+(1/OY²)+(1/OZ²) összeg független az egyenes választásától.
4. Adott a síkban az A₀A₁A₂ háromszög és a P₀ pont. Legyen P_k+1 a P_k pont A_k+1 csúcs körüli negatív irányú 120°-os elforgatottja (A_k=A_{k mod 3}). Tudjuk, hogy P₁₉₈₆=P₀. Bizonyítsuk be, hogy A₀A₁A₂ háromszög szabályos.
5. Hány olyan pontja van a síknak, amelyet egy adott szabályos ötszög egymás utáni csúcsaira sorban tükrözve az ötödik tükrözés után a kiindulásul vett pontot kajuk?
6. Adott körben megrajzoljuk az ABCDE szabályos ötszöget. Az A csúcsból a DC-re állított merőleges a kört A'-ben metszi. Mutassuk meg, hogy a d(A'B)-d(A'C) egyenlő a kör sugarával.
7. Az A₁, A₂, ..., A₅ pontok az egységkört öt egyenlő részre osztják. Igazoljuk, hogy d²(A₁A₂)+d²(A₁A₃)=5.
8. Adott az egységsugarú körben egy szabályos ötszög. Az egyik oldalához tartozó körívet 1:5 arányban osztó pontot kössük össze a csúcsokkal. Bizonyítsuk be, hogy a keletkező szakaszok hosszainak szorzata 1.
9. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos ötszög valamennyi átlója ismét szabályos ötszöget határol.
10. Az ABCDEF szabályos hatszögben a BC oldal felezőpontja G, a DF átló felezőpontja H. Bizonyítsuk be, hogy AGH háromszög szabályos. Mennyi a háromszög és a hatszög területének aránya?
11. Egy szabályos hatszög oldala 4 cm. Írjunk köré szabályos hatszöget úgy, hogy az adott hatszög csúcsai a körülírt hatszög oldalait 1:3 arányban osszák. Ismételjük ezt addig, míg a hatszög területe 1 m²-nél nagyobb lesz. Hányadik lépésben kell abbahagynunk az eljárást?
12. A C₀C₁...C₆ szabályos hétszög középpontja O. A C₀C₂, C₁C₄ átlók M-ben, a C₀C₃, C₁C₅ átlók pedig N-ben metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy MN merőleges OC₀-ra.
13. Az ABCDEFGH szabályos nyolcszögben M az AD és EC metszete, N a CD és EG metszete. Bizonyítsuk be, hogy CM=EN.
14. Egy kör kerületét nyolc egyenlő részre osztjuk. A páratlan, illetve a páros sorszámú osztópontokat összekötve két négyzetet kapunk. Igazoljuk, hogy a négyzetoldalak metszéspontjai szabályos nyolcszöget alkotnak.
15. Bizonyítsuk be, hogy az egységsugarú körbe írt szabályos 9-szögben teljesül: A₁A₂*A₁A₃*A₁A₄*A₁A₅=3.
16. A P=A₁A₂...A₉ egy szabályos 9-szög. Tükrözzük P-t A₁-re, képe P₁. P₁-t A₂-re tükrözve P₂-t kapjuk, A₃-ra tükrözve P₃-t, így tovább egészen P₉-ig. Bizonyítsuk be, hogy P₉ egyetlen pontra való tükrözéssel is előállítható P-ből. Melyik ez a pont?

lap teteje

Sokszögek

1. Adott egy szabályos k-szög. Milyen arányban kell felosztanunk az oldalait, hogy az adott osztópontok egy szabályos 2k-szöget határozzanak meg?
2. A=A₁A₂...A_n egy szabályos n-szög. Határozzuk meg az A₁A₂² + A₁A₃² +... + A₁A_n² összeget.
3. Adott az A=A₁A₂...A_n szabályos n-szög. A körülírt körének egy tetszőleges pontja P. Bizonyítsuk be, hogy A₁P² + A₂P² +... + A_nP² összeg független P-től.
4. Adott A=A₁A₂...A_n szabályos n-szög. A körülírt körének egy tetszőleges pontja P. Bizonyítsuk be, hogy A₁P⁴ + A₂P⁴ +... + A_nP⁴ összeg független P-től.
5. Adott egy szabályos n-szög. Az egyik csúcsát összekötjük a többivel. Mennyi a keletkező szakaszok hosszainak szorzata?
6. Mennyi egy szabályos n-szög átlói hosszainak szorzata?
7. Adott az origó középpontú körbe írt A=A₁A₂...A_n szabályos n-szög. Az A'=A₁'A₂'...A_n' szabályos n-szöget úgy kapjuk, hogy A-t eltoljuk egyik csúcsának helyvektorával. Kössük össze A középpontját A' csúcsaival. Mennyi lesz a keletkező szakaszok szorzata?
8. Legyen A=A₁A₂...A_n (n páratlan) húrsokszög. Forgassuk el a körülírt kör középpontja körül tetszőleges (de nem 180° többszöröse) szöggel, így A_i átmegy A_i'-be. Ezután képezzük a megfelelő oldalak metszéspontjait, kapjuk az S=S₁S₂...S_n sokszöget (S_i A_iA_i+1 és A_i'A_i+1' metszéspontja). Bizonyítsuk be, hogy A akkor és csak akkor szabályos, ha S szabályos.

lap teteje

Egyéb feladatok

1. Határozzuk meg tetszőleges háromszögben a súlyvonalak és az oldalak négyzetösszegeinek arányát.
2. Egy háromszög magasságpontját kössük össze valamelyik csúccsal. Képezzük ezen szakasz és a szemközti oldal négyzetösszegét. Mennyi ez?
3. Igazoljuk, hogy tetszőleges háromszögben teljesül: c² + 4s_c² = 2(a² + b²). (s_c a c oldalhoz tartozó súlyvonal.)
4. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogóját E és D pontok harmadolják.Igazoljuk: CD² + DE² + EC² = (2/3)AB².
5. Egy háromszög köré írt kör középpontja a háromszög melyik oldalához esik közelebb?
6. Tükrözzük a hegyesszögű háromszög egyik csúcsát a köré írt kör középpontjára, majd a kapott képet a szemközti oldal felezőpontjára. Igazoljuk, hogy a kapott pont nem függ a kiindulásul vett csúcstól.
7. Tekintsük a k körbe írt olyan háromszögeket, amelyeknek egyik csúcsa a kör egy rögzített C pontja, a vele szemközti oldal pedig állandó c hosszúságú (R>c). Mit alkotnak ezen háromszögek magasságpontjai?
8. Egy háromszög körülírt köréhez az egyik csúcsban érintőt rajzolunk, majd erre rávetítjük a csúccsal szemközti oldal felezőpontját és a másik két csúcsból induló magasságok talppontjait.Mi e három vetület kölcsönös helyzete?
9. Egy kör kerületén rögzítettük az A pontot. A BC húr úgy mozog, hogy összeg AB² + AC² állandó. Mit ír le a húr felezőpontja?
10. Egy kör két húrja AB, CD. Szerkesszük meg azt a P pontot, amelyre APC, BPD háromszögek egy P körüli forgatva nyújtással egymásba vihetők.
11. AB, CD egy kör két, egymásra merőleges átmérője és P a kör egy pontja. A CP és CD egyenesek AB-vel vett metszéspontja X és Y. Mutassuk meg, hogy AX/AY=BX/BY.
12. Egy origó középpontú, r sugarú körbe írt trapéz átlói merőlegesek, a kör középpontja az átlók metszéspontjától r/2 távolságra van. (Feltehetjük, hogy a trapéz párhuzamos oldalai párhuzamosak az egyik koordináta-tengellyel.) Mik a trapéz csúcsainak koordinátái?
13. Adottak az AB=CD szakaszok, ahol AB rögzített. CD úgy mozog, hogy ABCD rombusz. Mit ír le CD C-hez közelebbi harmadoló pontja?
14. Egy húrnégyszög átlói merőlegesek. Bizonyítsuk be, hogy bármely két szemközti oldalának négyzetösszege egyenlő a körülírt kör átmérőjének négyzetével.
15. Egy O középpontú körbe olyan húrnégyszöget írunk, amelynek átlói merőlegesek egymásra. Igazoljuk, hogy az O pont bármelyik oldaltól vett távolsága egyenlő a szemközti oldalhossz felével.
16. Legyen A₁A₂...A₆ egy konvex húrhatszög. Bizonyítsuk be, hogy A₁A₄ , A₂A₅ , A₃A₆ egyenesek akkor és csak akkor találkoznak egy pontban, ha A₁A₂ * A₃A₄ * A₅A₆ = A₂A₃ * A₄A₅ * A₆A₁ .
17. Adott k₁, k₂ két koncentrikus kör. P az egyik kör egy tetszőleges pontja, AB a másik kör egy tetszőleges átmérője. Mutassuk meg, hogy PA² + PB² állandó.
18. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges négyszögben a szemközti oldalak felezőpontjait és az átlók felezőpontjait összekötő szakaszok hosszainak négyzetösszege egyenlő az oldalak és átlók négyzetösszegének negyedével.
19. Az A = A₁A₂A₃...A_2n körbe írt sokszög (n páratlan). Szemköztinek nevezzük az A_iA_i+1 és A_n+iA_n+i+1 oldalpárokat (i=1,2,3,..,n és A_2n+1 = A₁ ). Igazoljuk, hogy az első n-1 szemközti oldalpár párhuzamosságából következik az n-edik szemközti oldalpár párhuzamossága.
20. Adott c₁, c₂, ... c_n komplex számok egy konvex n-szög csúcsai. A z komplex számról tudjuk, hogy 1/(z-c₁) + 1/(z-c₂) + ... + 1/(z-c_n) = 0. Igazoljuk, hogy z a sokszög belső pontja.

lap teteje