A számfogalom felépítése

<<<<(O)>>>>

V. Valós számok (R)
(összeadás, szorzás, kivonás, osztás, hatványozás racionális kitevővel)
 
1. A valós számok
A racionális és az irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük.

A racionális számok a véges, illetve végtelen szakaszos tizedestörtek, az irracionális számok pedig a végtelen nem szakaszos tizedestörtek. A kettő együtt adja a valós számokat, így valós számoknak tulajdonképpen az összes felírható tizedestörtet tekintjük. Pl. valós szám a -5, 0, 2, 4/3 és a négyzetgyök 2 is.


 


Gondoljuk át, milyen kapcsolatban vannak egymással a természetes, az egész, racionális, irracionális és a valós számok!
1. Minden természetes szám egész szám.
Ez igaz, mivel a pozitív (nemnegatív) egészek pontosan a természetes számok.
2. Minden egész szám racionális szám.
Ez igaz, mivel a p/1 alakú számok racionálisak és p/1=p (p egész a definíció szerint).
3. Minden racionális szám valós szám.
Ezt pont ennek az oldalnak első mondatában jelentettük ki.

A fenti három állítás tartalmát így is jelölhetjük:

( ( (természetes) egész) racionális)
számok. Az irracionális számok kilógnak a sorból. Róluk azt tudjuk, hogy

4. Egy valós szám vagy racionális, vagy irracionális.
Gondoljunk a tizedestört alakokra: a véges vagy végtelen szakaszos és a végtelen nem szakaszos formák kizárják egymást.
5. Minden irracionális szám valós szám.
Ez szintén a valós számokról szóló első mondatban szerepel.

Mind az öt kijelentést figyelembe véve módosítsuk előbbi jelölésünket. Mondhatjuk:

( ( ( (természetes) egész) racionális) (irracionális) valós)
számokat ismertünk meg az eddigiekben.

2. Az n-edik gyökvonás
A címben az szerepel, hogy hatványozás racionális kitevővel. Azonban mi eddig csak egész kitevőkig jutottunk, lásd a RACIONÁLIS SZÁMOKnál. Mit is jelenthet a racionális kitevő? A válaszhoz idézzük fel a GYÖKVONÁS definícióját. Biztos ami biztos, ide másoltam:

Def. Egy nemnegatív a szám négyzetgyökén olyan nemnegatív számot értünk, amelynek négyzete a.

Mi történne, ha a "négyzetgyök" szót kicserélnénk "n-edik gyök"-re, a "négyzete" szót pedig "n-edik hatványára"? Írjuk csak át a definíciót:

Próba-def. Egy nemnegatív a szám n-edik gyökén olyan nemnegatív számot értünk, amelynek n-edik hatványa a.

És most gondoljuk át, mit csináltunk! Pl. a 16 negyedik gyöke alatt értjük azt a nemnegatív számot, aminek negyedik hatványa 16. Van ilyen nemnegatív szám, méghozzá a 2: 24 = 16. Vagy a 64 harmadik gyöke a 4, mert 43 = 64. Az 5 negyedik gyökét nem tudjuk pontosan meghatározni, de az irracionális szám játékhoz hasonlóan most is játszhatunk egy játékot, ami során tetszőlegesen sok tizedesjegyig kiszámíthatjuk negyedik gyök 5 értékét. (1,49534878...)
Úgy tűnik, eddig semmi probléma sincs a definíció kiterjesztésével.

Most gondoljuk meg, melyik számot kell harmadik hatványra emelni, hogy (-8)-t kapjunk? Nem nehéz a válasz, a (-2)-ről van szó: (-2)3 = -8. Tehát néha negatív számoknak is tekinthetjük bizonyos gyökeit! Már csak azt kellene megmondani, mikor. Ehhez ITT találunk segítséget: negatív számok páratlan hatványai (a páratlan sok (-1) miatt) szintén negatív számok.
Összességében elmondhatjuk, hogy nemnegatív számok tetszőleges hatványai nemnegatívak, negatív számok páros hatványai pozitívak, páratlan hatványai pedig negatívak. Ezért definíciónkat szétbontjuk két részre:

Def. Egy a nemnegatív valós szám n-edik gyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelynek n-edik hatványa a. Egy a negatív szám 2k+1-edik gyökén azt a negatív számot értjük, amelynek 2k+1-edik hatványa a.

Fontos: negatív számokból páros sokadik gyököt nem tudunk vonni! Pl. (-8) harmadik gyöke (-2), de (-16) negyedik gyökéről nem tudunk mit mondani. 8 harmadik gyöke és 16 negyedik gyöke 2.

Az n-edik gyökvonás azonosságai (elöl állnak az azonos alapú, utánuk az azonos kitevőjű gyökök):

Kérdések:
1. Az n-edik gyök fogalmát definiálhatnánk más megfogalmazással is. Próbáljunk meg ilyet kimondani!

(II. 2.)

3. Újból a hatványozásról
A hatvány definíciójában LEGUTÓBB eddig jutottunk:
Def. Bármely a racionális számra:
1. 00 -t nem értelmezzük (n=0)(a=0);
2. a0 = 1 (n=0)(a<>0);
3. a1 = a (n=1);
4. an = aa...a (n>1);
5. a-n = 1/an = 1/aa...a (n<0).

Ebben a definícióban kitevőként csak egész számok szerepelhetenek. Nézzük, a gyökvonást be tudjuk-e valahogy illeszteni a képbe? Gondoljunk az n. gyökvonás definíciójára: ott olyan számot keresünk, aminek n. hatványa egy adott szám.
Tehát egy számot (jelöljük b-vel, ezt keressük) fogunk n. hatványra emelni ahhoz, hogy egy előre adott számot (jelöljük a-val) kapjunk: bn = a. Az a kitevője 1.
Gondoljunk arra: a b szám is lehet egy hatvány, pl. b = cm. Ekkor bn = (cm)n = cmn, ennek kellene egyenlőnek lenni a-val, azaz a1 -val. Két hatvány viszont pontosan akkor egyenlő, ha alapjuk és kitevőjük is megegyezik. Ezért

mn = 1 , c = a
-nak kell teljesülnie. Így m=1/n, c=a segítségével az előző sort átírhatjuk: bn = (a1/n)n = a(1/n)*n = a1 = a. Ami azt jelenti, hogy a keresett b szám nem más, mint a1/n.
Tehát arra a kérdésre, hogy 'melyik szám n. hatványa a?', formailag, a hatványozás szabályait betartva azt mondhatjuk: "a1/n ". Ha a másik oldalról közelítjük meg a kérdést és a gyökvonás definícióját tekintjük, a 'melyik szám n. hatványa a?' kérdésre azt válaszoljuk: "n-edik gyök a".
Ez arra bátorít minket, hogy kimondjuk: n-edik gyök a pontosan a1/n. Természetesen mindig figyelembe kell vennünk az n-edik gyökvonás definíciójában foglaltakat, hogy milyen számból milyen gyököt vonhatunk. Viszont így már nem csak egész kitevős hatványokról beszélhetünk, hanem általában minden racionális kitevőről:

Def. Bármely a racionális számra:
1. 00 -t nem értelmezzük (n=0)(a=0);
2. a0 = 1 (n=0)(a<>0);
3. a1 = a (n=1);
4. an = aa...a (n>1);
5. a-n = 1/an = 1/aa...a (n<0).
6. a1/n = n-edik gyök a, a gyökvonás definíciójának megfelelően.

A hatványozás azonosságai továbbra is érvényben maradnak, ezért pl. (a1/n )m = am/n és (am )1/n = am/n, ahol m és n tetszőleges racionális számok.
1. aman = am+n.
2. am/an = am-n.
3. (am)n = amn.
4. (ab)m = ambm.
5. (a/b)m = am/bm, ha b nem 0.

A hatványozás kiterjesztését ezzel egyenlőre befejezzük. Maradtak még nyitott kérdések, például egyenlőre nem tudjuk, mi a helyzet az irracionális kitevőkkel, következésképpen nem beszélhettünk valós kitevőkről sem. Ezért később vissza fogunk térni a hatványozás problémakörére.


A kérdéseinkre adott feleletek nem szaporodtak. Mivel minden természetes, egész, racionális és irracionális szám valós, meglévő válaszainkat így is megadhatjuk:
1. Melyik számot kell hozzáadni az 5-höz, hogy 4-et kapjunk?
- A megoldás egy valós szám, a -1.
2. Melyik számmal kell megszorozni a 3-t, hogy 4-et kapjunk?
- A megoldás egy valós szám, a 4/3.
3. Melyik számot kell megszoroznunk önmagával, hogy az eredmény 2 legyen?
- A megoldás egy valós szám, a négyzetgyök 2.
4. Melyik számot kell megszoroznunk önmagával, hogy -1-t kapjunk?
- Nincs ilyen valós szám.
Ha valaki érdeklődik 4. kérdés iránt, ITT megkapja a feleletet.

 

Trembeczki Csaba, 1999-2007.