<<<<(O)>>>>

Mivel b irracionális, mindig tudunk adni olyan b_1n és b_2n, csupa véges tizedestörtekből álló sorozatokat (gondoljunk a játékra), hogy azok egyre közelebb és közelebb kerülnek egymáshoz úgy, hogy b mindig közöttük helyezkedik el:

---

 

---

A fentieket tetszőleges irracionális szám, mint kitevő esetén alkalmazhatjuk, ezért kiterjeszthetjük hatványozás definíciónkat az irracionális kitevőjű hatványokra. (Itt ellenőriznünk kellene, hogy a hatványozás azonosságai érvényben maradnak-e továbbra is, azonban ettől eltekintünk.) Most már mind az irracionális, mind a racionális számok szerepelhetnek kitevőként hatványokban, azaz mondhatjuk:

Értelmeztük a hatványozás műveletét tetszőleges valós kitevő esetére.

2. A hatványozás művelet által felvetett kérdések. A logaritmus.
Amikor kimondunk egy hatvány által leírt összefüggést, három számot vagy betűjelet kell használnunk. Egyet a hatvány alapjára, egyet a hatvány kitevőjére és egyet a hatvány értékére. Pl. 2³ = 8 vagy a^b = c. Ha kérdést fogalmazunk meg egy hatvánnyal kapcsolatban, erre a három dologra lehetünk kíváncsiak: rákérdezhetünk a hatvány alapjára, a hatvány kitevőjére, illetve a hatvány értékére.

Példának álljon itt az előbb említett hatvány, 2³ = 8. Kérdéseink:
1. Melyik számmal egyenlő 2³ ?
- Nyolccal.
2. Melyik számot kell 3-ik hatványra emelni ahhoz, hogy 8-at kapjunk?
- Kettőt.
3. Hányadik hatványra kell emelni a 2-t, hogy 8-t kapjunk?
- Harmadik hatványra.

Az első kérdés a hatvány értékére vonatkozik. Válaszolni rá a hatványozás definíciója segítségével tudunk: kettő a harmadikon egyenlő nyolccal.
A második kérdés a hatvány alapjára vonatkozik. Megválaszolásához megfelelő kitevőjű gyököt kell vonnunk az adott számból: harmadik gyök nyolc egyenlő kettővel.
A harmadik kérdésre sem nehéz kitalálni a választ. Itt a kitevő felől érdeklődünk. Amikor erre a kérdésre válaszolunk, azt mondjuk: a nyolc kettes alapú logaritmusa három. Jelekkel pedig azt írjuk, hogy

Tegyük fel a kérdést: milyen számokat írhatnánk még az előző példában a 2 és a 8 helyére?
Például tudunk-e választ adni a harmadik kérdésre, ha nem 2, hanem (-2) szerepel benne? Azaz mennyivel egyenlő log_-28? Vajon hányadik hatványra kell emelni (-2)-t, hogy 8-t kapjunk?

Be kell látni, erre a kérdésre nem tudunk válaszolni. Ezért a negatív számokat kizárjuk a logaritmus alapszámai közül. Mivel a 0 hatványai mind 0-k, rá is hasonló sors vár. A negatív számokat és a 0-t ezzel kizártuk a lehetőségek közül. A pozitív számok között az 1 minden hatványa 1. Ez sem "jó", így tőle is megszabadulunk: logaritmus alapszáma 1 sem lehet. Viszont pozitív számoknak valós kitevőkkel csak pozitív hatványai vannak, tehát log_ab kifejezésben b sem lehet más, csak pozitív. Ezért a következő definíciót fogalmazzuk meg:

Def. A log_ab (a alapú logaritmus b, ahol a>0 de nem 1 és b>0) jelenti azt a kitevőt, amire a-t emelve b-t kapunk.

Nagyon fontos, hogy a kikötéseket betartsuk: ugyanúgy, mint amikor a törteknél kizártuk a 0 nevezőjűeket, itt is be kell tartanunk a szabályokat. A logaritmus alapja csak 1-gyel nem egyenlő pozitív szám lehet, a másik szám pedig csak pozitív lehet.

Ha ezeket betartjuk, akkor a logaritmus azonosságai a következők:
1. log_a(bc) = log_ab + log_ac;
2. log_a(b/c) = log_ab - log_ac;
3. log_a(bⁿ) = n*log_ab;
4. log_aa = 1;
5. log_a1 = 0;
6. log_ab * log_ba = 1;
7. log_bc = log_ac / log_ab.

(III. 1.)